ถามเกี่ยวกับ Linear transformation ค่ะ

[khlongez]

โจทย์ให้หา Linear transformation $T : V\rightarrow V $ ทั้งหมดซึ่ง $T = T^2$

ที่ใช่แน่ๆก็คือ zero transformation กับ identity transformation แต่จะมีแบบอื่นนอกจากนี้มั้ย? แล้วจะพิสูจน์ยังไงว่าที่เราหามานั้นครบแล้ว

[nooonuii]

ให้ $U$ เป็น linear subspace ของ $V$

ให้ $W$ เป็น complementary subspace ของ $U$

นั่นคือ $V=U\oplus W$

นิยาม $T:V\to V$ โดยให้

$T(u)=0$ ทุก $u\in U$

$T(w)=w$ ทุก $w\in W$

ลองพิสูจน์ว่า $T$ เป็น linear transformation และ $T^2=T$

สิ่งที่ต้องทำอีกอย่างคือพิสูจน์ว่า ถ้า $T^2=T$ แล้ว $T$ จะต้องอยู่ในรูปนี้เท่านั้นโดยพิสูจน์ว่า

$V=Ker(T)\oplus Im(T)$

[khlongez]

คือถ้ากำหนดว่า $T = T^2$ เราก็จะพิสูจน์ได้ว่า $V = Ker(T)\oplus Im(T)$ แต่ไม่รู้ว่าจะเอาไปใช้ยังไง

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ khlongez

คือถ้ากำหนดว่า $T = T^2$ เราก็จะพิสูจน์ได้ว่า $V = Ker(T)\oplus Im(T)$ แต่ไม่รู้ว่าจะเอาไปใช้ยังไง

ก็ได้ว่า $U=Ker(T),W=Im(T)$ ไงครับและจะเห็นว่า $T\equiv 0$ บน $U$ และ $T\equiv Id$ บน $W$ ซึ่งก็คือรูปแบบที่เราต้องการ