Partial Fraction

[คุณชายน้อย]

จงหาค่าของ $A_1,A_2,A_3,...,A_n$ ที่ทำให้
$$
\frac{1}{a_1a_2a_3...a_n} = \frac{A_1}{a_1}+\frac{A_2}{a_2}+\frac{A_3}{a_3}+...+\frac{A_n}{a_n}
$$

มีตัวอย่างอยู่แล้วที่บทความ http://www.mathcenter.net/sermpra/se...pra03p01.shtml เมื่อ n = 2 จะได้ว่า
$$
\frac{1}{a_1a_2} = \frac{A_1}{a_1}+\frac{A_2}{a_2} ก็ต่อเมื่อ A_1 = \frac{1}{a_2-a_1},A_2=\frac{1}{a_1-a_2}
$$

ให้ตอบแบบ How to นะครับ ใครจะให้วิธีคิดที่น่าสนใจ??

[คุณชายน้อย]

เมื่อทำโจทย์ข้อที่ 1 ได้แล้ว ให้ Generate ไปโจทย์ข้อที่ 2
จงหาค่าของ $A_i,B_i,...,N_i$ ที่ทำให้
$
\frac{1}{{a_1}^{b_1} {a_2}^{b_2}...{a_n}^{b_n}} = \left(\,\right. \frac{{A}_{b_1}}{{a_1}^{b_1} } + \frac{{A}_{b_1-1}}{{a_1}^{b_1-1} } +...+\frac{{A}_{1}}{{a_1}^{} } \left.\,\right) + \left(\,\right. \frac{{B}_{b_2}}{{a_2}^{b_2} } + \frac{{B}_{b_2-1}}{{a_2}^{b_2-1} } +...+\frac{{B}_{1}}{{a_2}^{} } \left.\,\right)
$
$
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+...+ \left(\,\right. \frac{{N}_{b_n}}{{a_n}^{b_n} } + \frac{{N}_{b_n-1}}{{a_n}^{b_n-1} } +...+\frac{{N}_{1}}{{a_n}^{} } \left.\,\right)

$

ให้เริ่มคิดจากกรณีง่าย ๆ ไปก่อนคือ
1. เมื่อ $c = {a_1}^{} {a_2}^{}$ หา $A_i,B_i$ ที่ทำให้
$$
\frac{1}{{a_1}^{} {a_2}^{}} = \frac{A_1}{{a_1}^{} } + \frac{B_1}{{a_2}^{} }
$$
จะเหมือนโจทย์ข้อที่ 1

2.เมื่อ $c = {a_1}^{2} {a_2}^{}$ หา $A_i,B_i$ ที่ทำให้
$$
\frac{1}{{a_1}^{2} {a_2}^{}} = \left(\,\right. \frac{A_2}{{a_1}^{2} } + \frac{A_1}{{a_1}^{} } \left.\,\right) + \frac{B_1}{{a_2}^{} }
$$

3.เมื่อ $c = {a_1}^{} {a_2}^{2}$ หา $A_i,B_i$ ที่ทำให้
$$
\frac{1}{{a_1}^{} {a_2}^{2}} = \frac{A_1}{{a_1}^{} } + \left(\,\right. \frac{B_2}{{a_2}^{2} } + \frac{B_1}{{a_2}^{} } \left.\,\right)
$$
เหมือนกรณีศึกษาข้อ 2
4.เมื่อ $c = {a_1}^{2} {a_2}^{2}$ หา $A_i,B_i$ ที่ทำให้
$$
\frac{1}{{a_1}^{2} {a_2}^{2}} = \left(\,\right. \frac{A_2}{{a_1}^{2} } + \frac{A_1}{{a_1}^{} } \left.\,\right) + \left(\,\right. \frac{B_2}{{a_2}^{2} } + \frac{B_1}{{a_2}^{} } \left.\,\right)
$$

ไม่ลองไม่รู้ ว่าเราทำได้...?

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คุณชายน้อย

จงหาค่าของ $A_1,A_2,A_3,...,A_n$ ที่ทำให้
$$
\frac{1}{a_1a_2a_3...a_n} = \frac{A_1}{a_1}+\frac{A_2}{a_2}+\frac{A_3}{a_3}+...+\frac{A_n}{a_n}
$$

ไม่แน่ใจเหมือนกันว่าอยากได้คำตอบแบบไหน เพราะโจทย์ไม่ได้เจาะจงน่ะครับ

ถ้าถามแค่ว่าให้หามาอย่างน้อยหนึ่งคำตอบไม่ใช่ทั้งหมด ผมขอเสนอ

$A_i=\dfrac{a_i}{na_1a_2\cdots a_n}$

ครับผม

[คุณชายน้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ไม่แน่ใจเหมือนกันว่าอยากได้คำตอบแบบไหน เพราะโจทย์ไม่ได้เจาะจงน่ะครับ

จุดประสงค์เริ่มแรก ผมต้องการให้น้อง ๆ สามารถหา telescope sum เป็นครับ ถ้ารู้ความสัมพันธ์ของ partial fraction และจุดประสงค์แฝงลึก ๆ ทั้งหมด ต้องการให้น้อง ๆ สามารถหาค่าของ integral เมื่อแยกเป็น partial fraction ได้ครับ

เฉลยข้อที่ 1 เพื่อนำไปคำนวณ sum โดยวิธี telescope sum จะได้ว่า
$$
A_k = {(-1)}^{n-1}\prod_{k\not= i = 1}^{n}\frac{1}{a_k-a_i}
$$

ตัวอย่าง
1. $\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{i(i+3)} = \sum_{i = 1}^{\infty} \left(\,\right. \frac{A_1}{i} + \frac{A_2}{i+3} \left.\,\right) = \sum_{i = 1}^{\infty} \left(\,\right.
\frac{\frac{{(-1)}^{1}}{i-(i+3)}}{i} + \frac{\frac{{(-1)}^{1}}{(i+3)-i}}{i+3} \left.\,\right) = \sum_{i = 1}^{\infty} \left(\,\right.
\frac{\frac{1}{3}}{i} + \frac{\frac{-1}{3}}{i+3} \left.\,\right) $
$~~~~~~~~~~~~ = \left(\,\right. \frac{\frac{1}{3}}{1} + \frac{\frac{-1}{3}}{4} \left.\,\right) + \left(\,\right. \frac{\frac{1}{3}}{2} + \frac{\frac{-1}{3}}{5} \left.\,\right) + \left(\,\right. \frac{\frac{1}{3}}{3} + \frac{\frac{-1}{3}}{6} \left.\,\right) + \left(\,\right. \frac{\frac{1}{3}}{4} + \frac{\frac{-1}{3}}{7} \left.\,\right) + \left(\,\right. \frac{\frac{1}{3}}{5} + \frac{\frac{-1}{3}}{8} \left.\,\right) +... $
$~~~~~~~~~~~~ = \frac{\frac{1}{3}}{1}+ \frac{\frac{1}{3}}{2}+\frac{\frac{1}{3}}{3} ~~(พจน์หลัง-พจน์หน้า ที่เหมาะสมรวมกันเป็นศูนย์) $
$~~~~~~~~~~~~ = \frac{1}{3}+ \frac{1}{6}+\frac{1}{9}= \frac{11}{8} $
2. $\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{i(i+1)(i+2)} = \sum_{i = 1}^{\infty} \left(\,\right. \frac{A_1}{i} + \frac{A_2}{i+1} + \frac{A_3}{i+2} \left.\,\right) = \sum_{i = 1}^{\infty} \left(\,\right.
\frac{\frac{{(-1)}^{2}}{[i-(i+1)][i-(i+2)]}}{i} + \frac{\frac{{(-1)}^{2}}{[(i+1)-i][(i+1)-(i+2)]}}{i+1} + \frac{\frac{{(-1)}^{2}}{[(i+2)-i][(i+2)-(i+1)]}}{i+2} \left.\,\right)$
$~~~~~~~~~~~~ = \sum_{i = 1}^{\infty} \left(\,\right.
\frac{\frac{1}{2}}{i} + \frac{\frac{-1}{1}}{i+1} + \frac{\frac{1}{2}}{i+2} \left.\,\right) $
$~~~~~~~~~~~~ = \left(\,\right. \frac{\frac{1}{2}}{1} + \frac{\frac{-1}{1}}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{3} \left.\,\right) +\left(\,\right. \frac{\frac{1}{2}}{2} + \frac{\frac{-1}{1}}{3} + \frac{\frac{1}{2}}{4} \left.\,\right) +\left(\,\right. \frac{\frac{1}{2}}{3} + \frac{\frac{-1}{1}}{4} + \frac{\frac{1}{2}}{5} \left.\,\right) +\left(\,\right. \frac{\frac{1}{2}}{4} + \frac{\frac{-1}{1}}{5} + \frac{\frac{1}{2}}{6} \left.\,\right) +... $
$~~~~~~~~~~~~ = \frac{\frac{1}{2}}{1}+ \frac{\frac{-1}{1}}{2}+\frac{\frac{1}{2}}{2} ~~(พจน์หลัง-พจน์กลาง-พจน์หน้า ที่เหมาะสมรวมกันเป็นศูนย์) $
$~~~~~~~~~~~~ = \frac{1}{4} $
3. $\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{(i+1)(i+3)(i+5)} ~~ คำนวณเข้าตามสูตรเองนะครับ$
4. $\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{(i+1)(i+3)(i+5)(i+7)} ~~ คำนวณเข้าตามสูตรเองนะครับ$