ข้อสอบสมาคม 2547 ม.ปลาย

[aaaa]

ข้อตรีโกณอาจจะมองแบบนี้ก็ได้ครับ (วิธีของคุณ gon ยอดเยื่อมจริงๆ แต่เผอิญผมมองเฉลยแล้วนึกถึง เอกลักษณ์ ของ Euler)
จากเงื่อนไขโจทย์แปลงเป็นสมการในเทอมของจำนวนเชิงซ้อนได้ดังนี้
\[
e^{ix}+e^{iy}+e^{iz}=2e^{i(x+y+z)}
\]
เอา เทอม \( e^{i(x+y+z)}\) หารตลอดจะได้
\[
e^{-i(y+z)}+e^{-i(z+x)}+e^{-i(x+y)}=2
\]
แปลงกลับในเทอมของ sine, cosine ได้เป็นสองสมการ (1)
\[
\cos(y+z)+\cos(z+x)+\cos(x+y)=2,\qquad\sin(y+z)+\sin(z+x)+\sin(x+y)=0
\]
ยกกำลังสองและบวกกัน (ใช้เอกลักษณ์ \( \sin^2a+\cos^2a=1 \) และสูตรผลต่าง cosine) จะได้
\[
4=3+2(\cos(y+z-z-x)+\cos(z+x-x-y)+\cos(x+y-y-z))=3+2(\cos(y-z)+\cos(z-x)+\cos(x-y))
\]
ดังนั้น (2)
\[
\cos(y-z)+\cos(z-x)+\cos(x-y)=\frac{1}{2}
\]
เมื่อเอาสมการ (2) ลบสมการแรกของ (1) แล้วหารด้วยสองจะได้คำตอบคือ -3/4

[warut]

เข้าใจแล้วล่ะ...คนออกโจทย์คงมีแนวคิดในการสร้างโจทย์แบบที่คุณ aaaa บอกนี่เอง
นับถือในฝีมือของคุณ aaaa จริงๆเลยครับ

[gon]

ขอบคุณ คุณ warut สำหรับแนวคิดข้อ 22 น่ะครับ. เดี๋ยวขอเวลาผมย่อยสลายแนวคิดต่าง ๆ ก่อน จับปลาหลายมือครับ. ตอนนี้ก็ทำอย่างอื่นอีกด้วย

ข้อตรีโกณ วิธีของคุณ aaaa ก็เยี่ยมครับ. สงสัยผมคงต้องหัดคิดอะไร ๆ แบบจำนวนเชิงซ้อนให้มาก ๆ บ้างแล้ว

ขอผมอธิบายแนวคิดของ ข้อ เมทริกซ์ข้อที่ 22 หน่อยนะครับ. ว่าผมงงอะไรอย่างไง ผมลองคิดดูสมมติว่า n = 2, 3 จะเกิดอะไรขึ้น

กรณีที่ n = 2 : โดย Cayley-Hamilton theorem ผมก็จะสามารถสร้างเมตริกซ์ทั้ง Real และ Complex ที่มีสมบัติว่า A² = A - I ได้แน่ ๆ 2 แบบ ที่มี det A = 1 (น -1) เช่น
\[ \bmatrix{0 & -1 \\ 1 & 1} , \bmatrix{\omega - 1 & \omega \\ 2 & -\omega} , \, \omega = e^{\frac{\pi\bf{i}}{3}} \]
ที่งงก็คือ ทำไม det A น -1 ทั้งที่ถ้าเล่น A² = A - I ก็จะได้ว่า det A = -1 ค่าหนึ่ง และ จะรู้ได้ไงว่า det A = 1 จากเงื่อนไขที่ให้มาดังกล่าว

มาลองดูกรณีที่ n = 3 ดูบ้าง
จาก A² = A - I หรือ I = A(I - A) เราสรุปได้ว่า det A น 0 หรือ A เป็น Non-Singular Matrix ซึ่งมีอินเวอร์สการคูณ เมื่อนำ A คูณตลอดจะได้ A³ = -I หรือ A³ + I = 0 จากตรงนี้ผมลองหาเมทริกซ์ที่มีสมบัติ A³ + I = 0 จะได้ เช่น \[ \bmatrix{0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 } \]
อันนี้ชัดเจนว่า det A =-1 แต่ที่งงก็คือ เมื่อ A มีอินเวอร์สการคูณ ก็ย่อมที่จะนำ A^-1 มาคูณ A³ + I = 0 ได้ ซึ่งก็จะย้อนกลับไปสู่เงื่อนไข A² = A - I ซึ่งดู ๆ แล้วก็น่าที่จะเป็นความสัมพันธ์แบบก็ต่อเมื่อ (if and only if) แต่เมื่อตรวจสอบจะพบว่า เมทริกซ์ดังกล่าว กลับไม่มีสมบัติ A² = A - I

ที่ผมพยายามจะสรุปก็คือ ไม่มี เมทริกซ์ใดเลย (ไม่แน่ใจว่าใช้ได้กับ Complex ด้วยหรือไม่) ที่มีสมบัติว่า A² = A - I ทั้งนี้เพราะถ้ามี เราก็จะได้ว่า I = A(I - A) นั่นคือ
\[ |A| \ne 0 \quad \cdots (1)\]
แต่ A² = A - I ดังนั้นจะได้ว่า A³ - A² - A = 0 นั่นคือ
\[ |\lambda I - A | = \lambda^3 - \lambda^2 - \lambda = 0\]
ซึ่งเมื่อ \( \lambda = 0 \, \) เราก็จะได้ว่า \[ |-A| = 0 \Rightarrow | A | = 0 \] ซึ่งขัดแย้งกับ (1) แบบนี้ได้หรือเปล่า

ซึ่งเมื่อไม่มีเทริกซ์ A ดังกล่าว ทั้งข้อ (1) และ (2) ก็ไม่รู้จะตอบอะไร เพราะมันไม่มีอะไรให้ตอบ หรือ ถ้าจะตอบผมว่าก็ควรจะตอบว่า จริงทั้งคู่ เพราะถ้าเหตุเป็นเท็จ ผมจะสรุปผลอย่างไรก็น่าจะถูกทั้งนั้น

[warut]

สำหรับกรณีที่ n = 2
เนื่องจาก A³ = -I ดังนั้น (det A)³ = (-1)² = 1 เพราะ n = 2
ดังนั้นถ้า det A เป็นจำนวนจริงแล้ว det A = 1 ได้ค่าเดียวครับ (ไม่สามารถเป็น -1 ได้)

สำหรับกรณีที่ n = 3 ผมขอยกตัวอย่างเปรียบเทียบดังนี้ครับ
สมมติว่ามีสมการพหุนามอยู่อันหนึ่งคือ x² - x + 1 = 0 ----- (1)
เอา x + 1 ไปคูณสมการ (1) เราจะได้ x³ + 1 = 0 ----- (2)
ซึ่งเราจะพบว่า x = -1 เป็นรากของสมการ (2)
แต่ถ้าเรานำ x = -1 ไปแทนในสมการ (1) จะพบว่าไม่เป็นจริง! ฉันใดก็ฉันนั้นแหละครับ
รากทุกรากของ (1) เป็นรากของ (2)
แต่ไม่ใช่ทุกรากของ (2) จะเป็นรากของ (1)

ส่วน matrix A ที่ทำให้ A² = A - I มีแน่นอนครับ เช่น A = e^pi/3I หรือ
\[\pmatrix{e^{\pi i/3}&0&0\\0&e^{\pi i/3}&0\\0&0&e^{-\pi i/3}}\]

[gon]

อ้อ.ใช่ ๆ กรณี n = 2 ผมเบลอตัวเลขเอง
กรณี n = 3 ทีแรกที่ผมตั้งใจจะหาให้ได้ก็คือ Real Matrix ที่มีสมบัติดังกล่าว แต่หายังไงก็หาไม่ได้สักที เพราะผมเข้าใจว่าโจทย์น่าจะหมายถึง Real Matrix แต่ตอนนี้ก็โอเคแล้ว ขอบคุณคุณ warut อีกทีครับ. สมาคม ฯ ปีนี้ดุเดือดจริง ๆ ถ้าวารสารสมาคม ฯ ฉบับหน้าลงข้อสอบพร้อมเฉลยยังไงก็รบกวนคุณ warut ดูให้ด้วยนะครับ. ว่าเขาจะให้คำตอบออกมาแบบไหน อยากรู้จริง ๆ.

[warut]

สรุปอีกทีนะครับ

ถ้าการพิสูจน์ของผมไม่ผิด ก็แปลว่า real matrix A ขนาด 3 x 3 ทุกอันที่ A³ = -I
จะต้องไม่ใช่คำตอบของสมการ A² = A - I

ในเมื่อคำตอบทุกอันของสมการ A² = A - I ไม่ใช่ real matrix ก็ไม่มีเหตุผลอะไรอีก
ที่จะต้องคิดว่า det A ต้องเป็นจำนวนจริงเท่านั้น ดังนั้นข้อความ (1) ในโจทย์จึงผิด

ผมก็อยากเห็นเฉลยในหลายๆข้อมาก ออกมาเมื่อไหร่ผมจะ scan มาเอามาแปะไว้ให้ที่นี่ครับ

[nooonuii]

เข้ามายืนยันข้อ matrix ครับว่าไม่มี real matrix ขนาด 1x1 และ 3x3 ที่มีคุณสมบัติว่า A²-A+I=0 ส่วนขนาดอื่นมีหมดครับ แต่ที่ผมพิสูจน์ผมใช้ Rational Canonical Form ซึ่งค่อนข้างจะเป็น advanced linear algebra น่ะครับ แต่ถ้าใครสนใจจะเขียนให้ดูอีกทีครับ

[warut]

ขอบคุณคุณ nooonuii มากครับที่ช่วยเข้ามาเช็คให้อีกแรง

แต่เอ๊...ผมคิดว่าไม่น่าจะมี real matrix A ขนาด n x n โดยที่ n เป็นเลขคี่
ที่สอดคล้องกับสมการ A² - A + I = 0 เลยนะครับ เพราะการพิสูจน์ (แบบง่ายๆ)
ของผมข้างบนเนี่ยมันใช้ได้ไม่เฉพาะกับกรณี n = 3 เท่านั้นนะครับ แต่มันใช้ได้
กับทุกกรณีที่ n เป็นเลขคี่เลย ยังไงรบกวนคุณ nooonuii ช่วยตรวจสอบการ
"พิสูจน์ว่า A ไม่ใช่ real matrix" ของผมข้างบนให้ด้วยนะครับ หรือคุณ nooonuii
จะช่วยหาตัวอย่าง real matrix ขนาด 5 x 5 ที่สอดคล้องกับสมการดังกล่าวมาให้สักอันก็ได้
แต่การพิสูจน์ขั้นสูงนี่ไม่ต้องเสียเวลาพิมพ์หรอกครับเพราะผมอ่านไม่เข้าใจแน่นอน

[nooonuii]

อืมใช่แล้วครับ คุณ warut ผมลองดูใหม่แล้วพบว่า

real matrix ที่มีคุณสมบัตินี้จะต้องมี minimal polynomial เป็น x²-x+1 ซึ่งจะทำให้ characteristic polynomial อยูในรูป (x²-x+1)^k ดังนั้น characteristic polynomial มีกำลังเป็นเลขคู่เสมอ นั่นหมายความว่า ขนาดของ matrix จะต้องเป็นเลขคู่เสมอครับ

อันนี้ตัวอย่างของ matrix ขนาด 4x4 ซึ่งมีคุณสมบัตินี้ครับ

\[ \bmatrix{0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1} \]

[warut]

ขอบคุณอีกครั้งครับ ถ้าอย่างนี้ผมก็ค่อนข้างมั่นใจแล้วว่าการพิสูจน์ของผมถูกต้อง
ก็คงเหลือแต่รอดูว่าเฉลยจะออกมาอย่างไร

[warut]

จากเฉลยข้อสอบในวารสารของสมาคมฯ ครับ

ข้อ 2. ในเฉลยได้\[D_{f\circ g}-R_{f\circ g}=\big[-\frac{7}{3},-\frac{5}{3}\big)\subset(-3,-1)\]นั่นคือข้อ ข. ถูกครับ

ข้อ 8. ในเฉลยเขาเปลี่ยนตัวเลือกข้อ ค. เป็น\[f\left(\frac{1}{z}\right)=
\frac{f(z)}{z\cdot\bar z}\quad\text{เมื่อ}\quad z\ne0\]ตรงกับที่คุณ gon คาดไว้ครับ และข้อ ค. นี้คือข้อที่ถูกต้อง

ข้อ 22. ในเฉลยยังยืนกรานให้ A - adj A = I ครับผม

ข้อ 32. เขาเปลี่ยนโจทย์เป็น \(z^3+az^2+(1+i)z-i=0\) และได้คำตอบเป็น |a| = ึ2 ครับ