พหุนามกับอสมการ

[Cachy-Schwarz]

กำหนด $ x^5-x^3+x=a$ ข้อใดสรุปถูกต้อง
ก.$ x^6\geqslant 2a+1$
ข.$ x^6\geqslant 2a$
ค.$ x^6\geqslant 2a-1$
ง.$ x^6\geqslant 2a+-2$

ทำไม่เป็นครับ เป็นโจทย์เพชรยอดมงกุฎ ม.ต้น ของปี 2552 ถ้ามีคนเฉลยไว้เเล้วก็ของลิ้งด้วยครับ

[Amankris]

Hint

$(x-1)^2(x^4-x^2+1)\ge0$

[No.Name]

# 2 ขอบคุณครับ

$x^2+1 \ge 2x$

$x^6+1 \ge 2x(x^4-x^2+1)$

$x^6+1 \ge 2a$

$x^6 \ge 2a-1$

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

Hint

$(x-1)^2(x^4-x^2+1)\ge0$

ขอถามตรง $(x-1)^2$ เอามาจากไหนครับ ทำได้เเล้วเเต่ยังงงตรงนี้อยู่

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ๛Cachy?Schwarz๛

ขอถามตรง $(x-1)^2$ เอามาจากไหนครับ ทำได้เเล้วเเต่ยังงงตรงนี้อยู่

มันจะได้ความจริงที่ว่า $x^2+1 \ge 2x$ ครับ

[Amankris]

#4
ใช้เวทมนตร์เสกมาครับ งงตรงไหน

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

#4
ใช้เวทมนตร์เสกมาครับ งงตรงไหน

งงตรงเวทมนตร์คุณ Amankris นี่หละครับ ไม่มีหลักการดูเลยเหรอครับ

[Amankris]

#7
งั้นขอถามนิดนึง ว่า คุณอ่าน #3 แล้วงงไหมครับ

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

#7
งั้นขอถามนิดนึง ว่า คุณอ่าน #3 แล้วงงไหมครับ

ไม่ครับ ก็งงที่ว่า เราควรจะทำอย่างไรจึงจะได้บรรทัดเเรกของ #3 มา ไม่ใช่เหตุผลที่ว่ามันจริงหรือเท็จนะครับ อันนี้ผมรู้อยู่ คือก่อนจะมาเริ่มบรรทัดนี้คิดยังไงก่อนครับ

[Amankris]

#9
สรุปว่า งงหรือเปล่าน่ะ -__-"

[Cachy-Schwarz]

ว่าเเล้วเชียวต้องพูดแบบนี้ ผมไม่ถามเเล้วครับ เอาว่าเข้าใจเเล้วก็ได้ ขอบคุณมากครับ

[[G]enerate]

#2
จากที่ $x^2+1 \geqslant 2x$
แล้ว $x^6+1 \geqslant 2x(x^4-x^2+1)$ มาได้ยังไงหรอครับ

[No.Name]

#12

คูณด้วย $x^4-x^2+1$ ทั้ง 2 ข้างครับ

[Real Matrik]

ถ้า $a$ เป็นจำนวนจริงใดๆ จะได้ว่า $a^2 \geq 0$ เสมอครับ
นั่นคือ $(x-1)^2 \geq 0$
และ $(x^2-1)^2 \geq 0 \rightarrow x^4-x^2+1 \geq x^2 \geq 0$

ดังนั้น $(x-1)^2(x^4-x^2+1) \geq 0$

ปล. สังเกตว่าแต่ละตัวเลือก ส่วนของ RHS จะมี $2a$ บวกกับค่าคงที่อยู่ (ดังนั้นสิ่งที่เราต้องทำคือหาค่าคงที่นั้น)

$$x^6\geq 2a+c$$
$$x^6-2x^5+2x^3-2x-c \geq 0$$
$$x^4(x-1)^2-x^4+2x^3-2x-c \geq 0$$
$$x^4(x-1)^2-x^2(x-1)^2+x^2-2x-c \geq 0$$
$$x^4(x-1)^2-x^2(x-1)^2+(x-1)^2-1-c$$

จะเห็นว่าค่าที่เหมาะสมของ $c$ คือ $-1$ ครับ เพื่อจะจัดรูปใหม่ใน LHS และถ้าทำต่อจะได้ว่า

$$x^4(x-1)^2-x^2(x-1)^2+(x-1)^2\geq 0$$
$$(x-1)^2(x^4-x+1)\geq 0$$

การที่ผมจัดให้แต่ละพจน์มี $(x-1)^2$ เป็นตัวประกอบ มาจากการสังเกตพจน์ $x^6-2x^5$ ครับ
ที่เหลือก็ลุ้นว่าจะเวิร์คมั้ย

ปล2. ว่าแต่คุณ Amankris ปิ๊งอสมการ $(x-1)^2(x^4-x+1)\geq 0$ ได้ไงครับ
(จริงๆวิธีทำผมก็ลอกอสมการคุณมา )