โจทย์ตรีโกณ ชุด 3 (2 ข้อ)

[sahaete]

ข้อ 1 ถ้า $\quad arccos\left(\,\dfrac{x}{a}\right)+arccos\left(\,\dfrac{y}{b}\right)=\alpha \quad$ แล้ว $\quad \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{2xy}{ab}\cos\alpha +\dfrac{y^2}{b^2}\quad$ มีค่าเท่าใด

$\qquad 1.\ \cos^2\alpha \quad\qquad 2.\ \tan^2\alpha \quad\qquad 3.\ \sin^2\alpha \quad\qquad 4.\ \cot^2\alpha$

ข้อ 2 จงหาค่า $\; x \; $ เมื่อกำหนดให้ $\quad arcsin\dfrac{2a}{1+a^2}-arccos\dfrac{1-b^2}{1+b^2}=arctan\dfrac{2x}{1-x^2}$

$\qquad 1.\ a \qquad\qquad 2.\ b \qquad\qquad 3.\ \dfrac{a+b}{1-ab}\quad \qquad 4.\ \dfrac{a-b}{1+ab}$

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sahaete

ข้อ 1 ถ้า $\quad arccos\left(\,\dfrac{x}{a}\right)+arccos\left(\,\dfrac{y}{b}\right)=\alpha \quad$ แล้ว $\quad \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{2xy}{ab}\cos\alpha +\dfrac{y^2}{b^2}\quad$ มีค่าเท่าใด

$\qquad 1.\ \cos^2\alpha \quad\qquad 2.\ \tan^2\alpha \quad\qquad 3.\ \sin^2\alpha \quad\qquad 4.\ \cot^2\alpha$

$arccos\left(\,\dfrac{x}{a}\right)=A\rightarrow cosA=\dfrac{x}{a}; sinA=\dfrac{\sqrt{a^2-x^2} }{a} $

$arccos\left(\,\dfrac{y}{b}\right)=B\rightarrow cosB=\dfrac{y}{b}; sinB=\dfrac{\sqrt{b^2-y^2} }{b} $

$arccos\left(\,\dfrac{x}{a}\right)+arccos\left(\,\dfrac{y}{b}\right)=\alpha$

$A+B=\alpha$

$cos(A+B)=cos\alpha$

$cosAcosB-sinAsinB=cos\alpha$

$\dfrac{x}{a}\cdot \dfrac{y}{b}-\dfrac{\sqrt{a^2-x^2} }{a} \cdot \dfrac{\sqrt{b^2-x^2} }{b}=cos\alpha$

$\dfrac{xy}{ab}-cos\alpha=\dfrac{\sqrt{a^2-x^2} }{a} \cdot \dfrac{\sqrt{b^2-y^2} }{b}$

$\left(\dfrac{xy}{ab}-cos\alpha\right) ^2=\left(\dfrac{\sqrt{a^2-x^2} }{a} \cdot \dfrac{\sqrt{b^2-y^2} }{b}\right) ^2$

$\dfrac{x^2y^2}{a^2b^2}-\dfrac{2xy}{ab}\cos\alpha+cos^2\alpha=\dfrac{a^2-x^2}{a^2} \cdot \dfrac{b^2-y^2} {b^2}$

$\dfrac{x^2y^2}{a^2b^2}-\dfrac{2xy}{ab}\cos\alpha+cos^2\alpha=(1-\dfrac{x^2}{a^2}) \cdot (1- \dfrac{y^2} {b^2})$

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{2xy}{ab}\cos\alpha +\dfrac{y^2}{b^2}=1-cos^2\alpha=sin^2\alpha$

ข้อ 2. พิมพ์โจทย์ผิดหรือเปล่าครับ $arctan\dfrac{2a}{1+a^2}$$-arccos\dfrac{1-b^2}{1+b^2}=arctan\dfrac{2x}{1-x^2}$

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sahaete

[color="Blue"]
ข้อ 2 จงหาค่า $\; x \; $ เมื่อกำหนดให้ $\quad arcsin\dfrac{2a}{1+a^2}-arccos\dfrac{1-b^2}{1+b^2}=arctan\dfrac{2x}{1-x^2}$

$\qquad 1.\ a \qquad\qquad 2.\ b \qquad\qquad 3.\ \dfrac{a+b}{1-ab}\quad \qquad 4.\ \dfrac{a-b}{1+ab}$

$a=tanA\rightarrow sin2A=\frac{2a}{1+a^2} \rightarrow 2A=arcsin \dfrac{2a}{1+a^2}$

$b=tanB\rightarrow cos2B=\dfrac{1-b^2}{1+b^2}\rightarrow 2B=arccos\dfrac{1-b^2}{1+b^2}$

$x=tanX\rightarrow tan2X=\dfrac{2x}{1-x^2}\rightarrow 2X=arctan\dfrac{2x}{1-x^2}$

$arcsin\dfrac{2a}{1+a^2}-arccos\dfrac{1-b^2}{1+b^2}=arctan\dfrac{2x}{1-x^2}$

$2A-2B=2X$

$A-B=X$

$tan(A-B)=tanX$

$\dfrac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}=tanX$

$x= \dfrac{a-b}{1+ab}$

[sahaete]

ขอบคุณครับ
ไม่ทราบว่าพอจะมีวิธีอื่นๆ อีกไหมครับ

[กิตติ]

ข้อแรกตรงโจทย์ถามเหมือนในสูตรของ cosineเลย เดี๋ยวคืนนี้ว่างๆจะลองไล่ดู
ผมคิดโดยการใช้กฎของsineกับcosine สร้างสามเหลี่ยมขึ้นมาใหม่ คิดในกระดาษเสร็จแล้ว พอดีในแท็บเล็ตมันวาดภาพไม่ได้ เดี๋ยวพรุ่งนี้จะลงให้ดูครับ

[กิตติ]

ข้อ 1 ถ้า $\quad arccos\left(\,\dfrac{x}{a}\right)+arccos\left(\,\dfrac{y}{b}\right)=\alpha \quad$ แล้ว $\quad \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{2xy}{ab}\cos\alpha +\dfrac{y^2}{b^2}\quad$ มีค่าเท่าใด

$\qquad 1.\ \cos^2\alpha \quad\qquad 2.\ \tan^2\alpha \quad\qquad 3.\ \sin^2\alpha \quad\qquad 4.\ \cot^2\alpha$




ให้ $arccos\left(\,\dfrac{x}{a}\right)=A,arccos\left(\,\dfrac{y}{b}\right)=B$
$\alpha=A+B$
$\alpha +M+N=\pi $
$A+B+M+N=\pi$
$M=\frac{\pi }{2}-A,N=\frac{\pi }{2}-B $
$\sin M=\sin(\frac{\pi }{2}-A)=\cos A$
$\sin N=\sin(\frac{\pi }{2}-B)=\cos B$
จากกฎของ $sine$ จะได้ว่า $\frac{\sin \alpha}{r} =\frac{\sin M}{q} =\frac{\sin N}{p} $
$\frac{\sin \alpha}{r} =\frac{\cos A}{q} =\frac{\cos B}{p}$
จากกฎของ $cosine$ จะได้ว่า $r^2=p^2+q^2-2pq\cos\alpha$
$r=\frac{q\sin \alpha}{\cos A} ,p=\frac{q\cos B}{\cos A} $

$q^2\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 A}=q^2\frac{\cos^2 B}{\cos^2 A}+q^2-2q^2\frac{\cos B}{\cos A}\cos\alpha$
$\sin^2 \alpha=\cos^2 A+\cos^2 B-2\cos A\cos B\cos\alpha$
$\cos A=\frac{x}{a},\cos B=\frac{y}{b}$ แทนค่าลงไปจะได้ว่า

$\sin^2 \alpha=(\frac{x}{a})^2 +(\frac{y}{b})^2-2(\frac{xy}{ab}) \cos\alpha$

ข้อสอง ผมดูวิธีของพี่เล็กแล้วคิดว่าน่าจะสั้นและสวยแล้วครับ

[sahaete]

ขอบคุณครับ เดี๋ยวคืนนี้จะไล่ดูครับ

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ให้ $arccos\left(\,\dfrac{x}{a}\right)=A,arccos\left(\,\dfrac{y}{b}\right)=B$
$\alpha=A+B$
$\alpha +M+N=\pi $
$A+B+M+N=\pi$
$M=\frac{\pi }{2}-A,N=\frac{\pi }{2}-B $

คุณหมอครับ บรรทัดสีแดง มายังไงครับ

[กิตติ]

$M+N=(\frac{\pi }{2}-A )+(\frac{\pi }{2}-B)$
ผมเลยให้ $M=(\frac{\pi }{2}-\arccos\left(\,\frac{x}{a}\right) )=\arcsin\left(\,\frac{x}{a}\right),N=(\frac{\pi }{2}-\arccos\left(\,\frac{y}{b}\right))=\arcsin\left(\,\frac{y}{b}\right)$ ซึ่งอาจเป็นหนึ่งในหลายๆค่า
ลองเขียนใหม่ อธิบายให้ดูดี
เราจะได้ว่าจาก $\arccos A+\arcsin A=\frac{\pi }{2}$ และ $\arccos B+\arcsin B=\frac{\pi }{2}$
$\arccos A+\arcsin A+\arccos B+\arcsin B=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}$
$(\arccos A+\arccos B)+\arcsin A+\arcsin B=\pi$
$\alpha+\arcsin A+\arcsin B=\pi$
ผมสามารถเอาตรงนี้ไปสร้างรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมด้านหนึ่งเป็น $\alpha,\arcsin A,\arcsin B$ ซึ่งผมแทน
$\arcsin A=M$ และ $\arcsin B=N$
อย่างนี้พอไหวไหมครับพี่เล็ก
ขอบคุณพี่เล็กมากครับ ที่ผมสมมุติไว้แต่แรกมันบังเอิญถูก พอพี่ถาม ผมเลยได้ทวนเอกลักษณ์เรื่องของ $\arccos,\arcsin$

[lek2554]

ที่สมมติ $M , N$ แบบนั้น ผลลัพธ์ที่พิสูจน์ได้ ก็จะเป็นจริงกรณีเดียว

แต่ยังไม่เป็นคำตอบในกรณีทั่วไปนี่ครับ

ถ้า $a+b=5$ แล้วบอกว่า $a+b=2+3$

แล้วสรุปว่า $a=2 , b=3$ จะได้หรือครับ

ปล. เดี๋ยวต้องขอตัวไปสอนก่อนครับ

[กิตติ]

ผมแก้อธิบายแล้วครับพี่เล็ก ให้เอกลักษณ์ของ $\arccos A+\arcsin A=\frac{\pi}{2} $
น่าจะพอได้นะครับ

[Amankris]

#9
$\arcsin A$ เป็นมุมในสามเหลี่ยมได้จริงหรือ

[กิตติ]

ไม่ได้ถ้าค่า $\arcsin$ อยู่ในช่วงติดลบ อย่างนั้นหรือเปล่าครับ

[lek2554]

ที่คุณหมออธิบายมา ผมก็ยังไม่ยอมรับอยู่ดีครับ (คุณ Amankris ก็แย้งมา)

เพราะที่พิสูจน์มา แค่บอกได้เพียงว่า เป็นจริงในกรณีที่ให้ $M=\frac{\pi }{2} -A$ และ $N=\frac{\pi }{2} -B$

แต่ยังไม่เพียงพอที่จะสรุปได้ในทุก ๆ กรณึครับ

คุณหมอเข้าข้างตัวเองไปหน่อยครับ ในการเอาสามเหลี่ยมมาช่วยในการพิสูจน์

และก็เข้าข้างตัวเองในการสรุปผลครับ กรณึนี้เป็นจริง ไม่ได้หมายความว่า กรณีอื่น ๆ ก็ต้องเป็นจริงด้วย

[กิตติ]

เมื่อคืนผมกลับไปเช็คเอกลักษณ์ที่ว่า $\arcsin A+\arccos A =\frac{\pi}{2}$ มันเป็นการเลือกพิจารณาเมื่อมุมอยู่ใน Q1 มันขาดกรณีที่มุมอยู่ในQอื่น คงนำไปสรุปว่าจริงแค่เมื่อค่ามุมอยู่ใน Q1 เป็นอย่างนี้ใช่ไหมครับ นอนดึกนะครับพี่เล็ก