พิสูจน์ว่า sqrt(2) เป็นจำนวนอตรรกยะ

[T.T N]

ใครมีวิธีในการพิสูจน $\sqrt{2}$ เป็นจำนวนอตรรกยะบ้างคับ
นอกเหนือจากวิธี หาข้อขัดแย้ง และแบบ ทบ.จำนวนบ้างคับ

ปล.อยากให้ใช้ความ ม.ปลาย ม.ต้นเท่าที่มีอะคับ

[~ArT_Ty~]

ใช้ทฤษฎีรากตรรกยะของพหุนามครับ ใน ม.ปลายก็มีสอนครับ

[T.T N]

ผมก็คิดอยู่นะคับทีใช้สมการ x^2-2=0 ในการพิสูจน์
แต่ผมไม่แน่ใจ ว่าพิสูจน์ยังไง รบกวนด้วยนะคับ

[TuaZaa08]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ T.T N

ผมก็คิดอยู่นะคับทีใช้สมการ x^2-2=0 ในการพิสูจน์
แต่ผมไม่แน่ใจ ว่าพิสูจน์ยังไง รบกวนด้วยนะคับ

จากทบ.รากตรรกยะจะได้ว่ามี ..... เป็นคำตอบ ซึ่ง $\sqrt{2} $

ดังนั้น มันเป็นอตรรกยะ ....

[T.T N]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TuaZaa08

จากทบ.รากตรรกยะจะได้ว่ามี ..... เป็นคำตอบ ซึ่ง $\sqrt{2} $

ดังนั้น มันเป็นอตรรกยะ ....

คือผมกำลังงงอะคับว่าจะแสดงไงดี
เพราะ ทบ.บอกว่า ถ้า p(x) มีรากตรรกยะ r/s .... แล้ว r|a0 และ s|an

ดังนั้น ผมเลยงอะคับ ว่าจะเริ่มไง ก็ต้องการว่าจะแสดงเป็นอตรรกยะ
ผมลองมั่วดูอะ
จากx^2-2=0 ให้ P(x)=x^2-2 สมมติมีรากตรรกยะ
แต่พบว่า P(+_1,+_2) ไม่เป็น 0 จึงบอกว่าไม่มีรากตรรกยะ มั้ยอะ
แต่ลึกๆ สงสัยถ้าอย่างนั้น อาจจะเป็นจำนวนเชิงซ้อนก็ได้นิ!!!
แต่พบว่า P(root 2)=0 ดังนั้น root2 เป็นอตรรกยะ นั่งคิดดูมั่วๆอะ
เหมือนผมยังไม่เข้าใจ ทบ. อะคับ

คือจาก ทบ. เป็น แบบ ถ้า.....แล้ว....
คือถ้ามีเหตุดังนั้น แล้วผลย่อมจริง แต่เป็นคือเราต้องการแสดงว่าไม่มีอะ
ทำไงดีอะคับ....

[nooonuii]

ถูกแล้วครับ

รากตรรกยะที่เป็นไปได้คือ $\pm1,\pm2$

แต่เมื่อแทนทั้งสี่ตัวนี้แล้วไม่ใช่ศูนย์ก็แสดงว่าหมดโควตาแล้วสำหรับรากตรรกยะ

แสดงว่ารากต้องเป็นอตรรกยะ

[T.T N]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ถูกแล้วครับ

รากตรรกยะที่เป็นไปได้คือ $\pm1,\pm2$

แต่เมื่อแทนทั้งสี่ตัวนี้แล้วไม่ใช่ศูนย์ก็แสดงว่าหมดโควตาแล้วสำหรับรากตรรกยะ

แสดงว่ารากต้องเป็นอตรรกยะ

แต่ลึกๆ สงสัยถ้าอย่างนั้น อาจจะเป็นจำนวนเชิงซ้อนก็ได้นิ!!! เพราะการไม่ใช่รากตรรกยะ อาจจะเป็นราก อตรรกยะก็ได้ หรือไม่ใช่จำนวนจริงก็ได้อะคับ รบกวนด้วยนะคับบ
และรบกวนอธิบายการใช้ ทบ.คำตอบตรรกยะด้วยนะคับ

[lek2554]

รากของสมการ $ax^2+bx+c=0$ เมื่อ $a\not= 0$

เป็นจำนวนจริงก็ต่อเมื่อ $b^2-4ac\geqslant 0$

เป็นจำนวนจินตภาพก็ต่อเมื่อ $b^2-4ac< 0$

[T.T N]

อ่อลืม!!! ขอบคุณมากคับ
ขอถามนิดนึงได้มั้ยคับ ผมสงสัยอะคับ
ว่า จาก Thm คือมันเป็น ถ้ามีรากตรรรกยะ แล้ว .......
แล้วเราต้องการพิสูจน์ว่า ไม่มีรากตรรยะ มันใช้ถูกหลักหรือเปล่าคับ

คือ ผมเข้าใจว่า ถ้าเหตุจริง แล้วผลจะจริงตาม

ผมยังงงกับการใช้ อ้างของผมอะคับ....

[Amankris]

แนะนำให้เจ้าของกระทู้ ทบทวนเรื่องตรรกศาสตร์ ครับ

[Real Matrik]

ผมว่าวิธีนี้สวยดีครับ
สมมติให้ $\sqrt{2}$ เป็นจำนวนตรรกยะ
จะได้ว่าเราสามารถเขียน $\sqrt{2}$ ให้อยู่ในรูป $\frac{a}{b}$ โดยที่ $a,b\in I$ และ $(a,b)=1$
จาก $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ จะได้ $2b^2=a^2$
เห็นได้ชัดว่า $a$ เป็นเลขคู่ ซึ่งเราจะสามารถให้ $a=2k$ เมื่อ $k\in I$
นั่นคือ $2b^2=a^2=4k^2$ หรือ $b^2=2k^2$
เห็นได้ชัดว่า $a$ เป็นเลขคู่ ซึ่งเราจะสามารถให้ $b=2m$ เมื่อ $m\in I$
เพราะฉะนั้น $2|(a,b)$ ซึ่งขัดแย้งเพราะ $(a,b)=1$
ดังนั้น $\sqrt{2}$ เป้นจำนวนอตรรกยะ