|
|
#1
12 กุมภาพันธ์ 2015, 12:06
|
||||
|
||||
Jensen ineq
$$\sum_{cyc} \frac{1}{1+x_{1}} \leqslant \frac{n}{1+\sqrt[n]{x_{1}x_{2}x_{3}...x_{n}}} , x_{i} \geqslant 1$$
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost. 12 กุมภาพันธ์ 2015 12:07 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ FranceZii Siriseth 
|
|
#2
12 กุมภาพันธ์ 2015, 17:23
|
|||
|
|||
|
ลอง $n=2$ $x=1$ , $y=3$ อสมการก็ไม่จริงแล้ว
$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y} \leq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$ ซ้าย 0.75 ขวา 0.732 อสมการน่าจะกลับข้างนะครับ วิธีทำใช้ Jensen มันมี 2 form ใช่มั้ย นูน กับ เว้า มองซ้ายสุดเป็น $\frac{\sum f(x_{i})}{n}$ จะเห็นว่าต้องใช้นูน เลือก $f(x)=...$ เลือกดีๆครับ ไม่น่าจะยาก
|
|
#3
12 กุมภาพันธ์ 2015, 17:37
|
||||
|
||||
|
ผมเอามาจาก Secrets in Ineq 1 ของ Pham kim hung หน้า 70 แสดงว่าเขาพิมพ์ผิดใช่หรือปล่าวครับ
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost.
|
|
#4
12 กุมภาพันธ์ 2015, 18:04
|
|||
|
|||
|
ลองมาทำให้ดูอีกค่าละกันครับ $(x,y,z)=(1,2,4)$
$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z} \leq \frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}$ ซ้าย 1.03 ขวาได้ 1 กลับข้างชัวร์ เมื่อกี้ใจร้อน ผมลองทดดูด้วยโพสต์ที่โพสต์ไปเมื้อกี้ว่า ใช้เว้า+AM-GM มัน bound เกินไป โทษทีครับ  ค่อนข้างมั่นใจว่าอสมการต้องกลับข้างละ ลองไปคิดต่อดูเองนะครับ 
|
|
#5
12 กุมภาพันธ์ 2015, 19:50
|
||||
|
||||
|
ถ้าคิดแบบ convex ผมลอง $f(x) =\frac{1}{1+x}$ เหมือนมันจะ bound เกินจากค่าที่เขาให้นะครับ
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost.
|
|
#6
12 กุมภาพันธ์ 2015, 20:04
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
------------------------------------------------------------------------- มาเฉลยเต็มๆเลยละกันครับ เห็นว่ามันยากพอควร ถ้าไม่พึ่ง LEMMA จากในหนังสือ (ซึ่งพิมพ์ผิด กลับข้าง//ไม่มีพิสูจน์อีกต่างหาก) LEMMA2: ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันส่งช่วงปิด $a,b$ ไปจำนวนจริงบวก ซึ่งสอดคล้องกับ $f(x)+f(y) \geq 2f(\sqrt{xy})$ ทุก $x$ บนช่วงปิดดังกล่าว แล้วจะได้ว่าทุก $x_{i}$ ในช่วงปิด $f(x_{1})+...+f(x_{n}) \geq nf(\sqrt[n]{x_{1}...x_{n}})$ พิสูจน์ LEMMA นี้แบบ forward+backward induction (เหมือน LEMMA1 ในหนังสือ) ขั้นฐานจริงสำหรับ $n=2$ อยู่แล้ว (เพราะกำหนดมา) มันก็เลยได้ อสมการจริงสำหรับ $2^{m}$ ด้วย เป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า ถ้า $n=k+1$ จริง แล้ว $n=k$ จริง จาก induction hypo เลือกให้ $x_{k+1}=(x_{1}...x_{k})^{\frac{1}{k}}$ จะได้ว่า $f(x_{1})+...+f(x_{k})+f(x_{k+1}) \geq (k+1)f(\sqrt[k+1]{x_{1}...x_{k+1}})$ แทน $x_{k}$ ลงไป ข้างซ้ายจะเป็น $(k+1)f(\sqrt[k+1]{(x_{1}...x_{k})^{\frac{1}{k}+1}}=(k+1)f(\sqrt[k]{x_{1}...x_{k}})$ แต่จาก $f(x_{k+1})=f(\sqrt[k]{x_{1}...x_{k}})$ ก็จะได้ อสมการจริงสำหรับ $n=k$ ตามต้องการ จากโจทย์ให้ $f(x)=\frac{1}{1+x}$ เป็นการเพียงพอที่จะสรุปอสมการโจทย์จาก LEMMA ฉะนั้น หน้าที่ของเราคือการพิสูจน์ว่า $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y} \geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$ ให้ $(x,y)=(a^2,b^2)$ โดยที่ $x,y\geq 1$ กระจายและจัดรูปอสมการข้างบนได้เป็น $(a-b)^2(ab-1) \geq 0$ ซึ่งก็จริงจาก $a,b \geq 1$ ปล.ผมเสียเวลากับมันมาก ที่แท้อสมการกลับข้างนี่เอง 
|
|
#7
12 กุมภาพันธ์ 2015, 21:39
|
||||
|
||||
|
ยกมือไหว้ คุณ Aqualia งามๆเลยครับ
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost.
|
|
#8
12 กุมภาพันธ์ 2015, 22:03
|
||||
|
||||
|
ลองดูวิธี Jensen ก่อน จริงๆเราก็สามารถใช้ Jensen ได้อยู่นะครับ
มาดูโจทย์อีกรอบก่อน $\displaystyle \sum_{cyc}(\dfrac{1}{1+x_i}) \ge \dfrac{n}{1+\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}}$ when $x_i \ge 1$ ถ้าลองใช้ Jensen บนฟังก์ชันนี้ดู $f(x)=\dfrac{1}{1+e^x}$ (convex for $x \ge 0$) จะพบว่าได้อสมการตามโจทย์ครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ 12 กุมภาพันธ์ 2015 22:04 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555
|
|
#9
13 กุมภาพันธ์ 2015, 11:57
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost.
|
|
#10
14 กุมภาพันธ์ 2015, 07:41
|
||||
|
||||
|
ผมลองพิสูจน์ $f(x)+f(y) \geqslant 2f(\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}})$
โดยเลือก $x_{k+1}=H.M.$ ของ k ตัว คิดเล่นๆ หากผมจะสรุปว่า $f(H.M.) \geqslant f(G.M.) \geqslant f(A.M.)$ ได้หรือเปล่าครับ
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost. 14 กุมภาพันธ์ 2015 07:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ FranceZii Siriseth
|
|
#11
18 กุมภาพันธ์ 2015, 15:35
|
|||
|
|||
|
สำหรับสองตัวแปรคล้ายๆกัน ถ้ามันจริง สำหรับ $n$ ตัวแปรน่าจะจริงทั้ง QM กับ HM ครับ
อันนี้แค่เดาแบบหยาบๆนะ จะลองคิดจริงๆจังดูก็ได้ครับ แต่สำหรับ QM AM GM HM ที่เปรียบเทียบค่าได้แน่นอน เราไม่รู้ว่าส่งผ่าน $f$ แล้วจะเปรียบเทียบกันได้หรือเปล่า น่าจะขึ้นกับสมบัติบางอย่างของ $f$ ที่เราเทคเข้าไปด้วย เช่นสำหรับ $n$ เดียวกัน ได้ $AM \geq GM$ ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันไม่ลดก็น่าจะสรุปได้ว่า $f(AM) \geq f(GM)$ ที่เห็นชัดๆก็มี $f(x)=x$ จริงมั้ย แต่ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันไม่เพิ่ม อสมการก็น่าจะกลับข้าง ทั้งหมดนี้ยังไม่รวมฟังก์ชันหลายๆฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันทางเดียวนะครับ 
|
|
#12
18 กุมภาพันธ์ 2015, 16:46
|
||||
|
||||
|
ถ้าเรามีเงื่อนไขของฟังก์ชั่นที่เพียงพอ ก็พอสสรุปได้ใชปะครับ ผมเข้าใจถูกหรือปล่าว ?
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost.
|
  |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน
|
||||
| หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
| Jensen inequality เป็นยังไงเหรอครับ | วิหก | อสมการ | 8 | 04 พฤษภาคม 2008 09:03 |
|
|
