ถามโจทย์logหน่อยครับ

[CmKaN]

1) ถ้า $log_{12}27 = x$ แล้วจงหา $log_{6}16$ ในเทอมของ x (ขอHintก็ได้ครับ)

2)จงหาเซตคำตอบของอสมการ $\frac{1}{log_{2}x} +\frac{1}{log_{3}x}+...+\frac{1}{log_{10}x} \leq 1$

3)กำหนดให้ $y=\sqrt{2^{2x}+2^{-2x}+2} ; x \geq 0$ แล้ว x มีค่าเท่าใด(ตอบในเทอมy)

4)$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} +\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$ มีค่าเท่าใด

[Art_ninja]

hint ข้อ 1

$\log_6 16
=\frac{4\log2}{log6}
=\frac{4\log2}{\log2 +\log3}
=\frac{1}{\frac{\log2+\log3}{4\log2}}
=\frac{1}{\frac{1}{4}+\frac{\log3}{4\log2}}
=\frac{1}{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\log_2 3}$
และจาก $\log_{12} 27=\frac{3\log3}{\log3+2\log2}=\frac{1}{\frac{\log3+2\log2}{3\log3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\log_32}=...$ แล้วก็นำไปแทนค่า...จบแล้วครับ

hint ข้อ 2

$\frac{1}{\log_2x}+\frac{1}{\log_2x}+...+\frac{1}{\log_{10}x}
=\frac{\log2}{\log x}+\frac{\log3}{\log x}+...+\frac{\log10}{\log x}
=\frac{\log 362880}{\log x}\leq 1 \therefore x\geq 362880$ ครับ

[nongtum]

Hint ข้อ 3

ให้ $a:=2^x$ แล้วใช้กำลังสองสมบูรณ์

Hint ข้อ 4

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

[CmKaN]

ขอบคุณครับ ตอนนี้ทำข้อ1,3ได้แล้ว แต่งงข้อสองได้คำตอบไม่ตรงกับเฉลยอ่ะครับ ช่วยดูให้หน่อยครับว่าลืมตรงไหน
วิธีทำ $\frac{1}{log_{2}x} +\frac{1}{log_{3}x}+...+\frac{1}{log_{10}x} \leq 1$
$\frac{(log2)(log3)(log4)...(log10)}{logx} \leq 1$
$log10! \leq logx$
$\therefore x = [10!,\infty)$ แต่เฉลยได้ $x=(0,1) U [10!,\infty)$

ส่วนข้อ4คิดไม่ออกครับ

[ZiLnIcE]

ต้องแยกสองกรณีนะครับ ผมคิดว่าคุณ Cm_Kanคิดไปเพียงกรณีเดียวครับ

[nongtum]

บรรทัดที่สองและสามน่้าจะเป็นแบบนี้มากกว่านะครับ: $$\frac{\log2+\log3+\cdots+\log10}{\log x}=\frac{\log10!}{\log x}\le1$$ และจู่ๆเราจะย้ายข้าง $\log x$ ทันทีไม่ได้ เพราะเรายังไม่ทราบว่า $\log x$ เป็นบวกหรือลบ
ในกรณีนี้ให้คูณตลอดด้วย $(\log x)^2$ แล้วค่อยๆแก้หา $x$ ดีกว่าครับ อย่าลืมว่าตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์ และ $\log 0$ ไม่นิยาม

ส่วนข้อสี่ ลองดู Hint แล้วจะรู้ครับว่าน่าจะใช้อะไรคูณ บวกกับใช้กำลังสองสมบูรณ์นิดหน่อย สังเกตด้วยว่าผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง (ทำไม และสำคัญยังไง)

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CmKaN

ขอบคุณครับ ตอนนี้ทำข้อ1,3ได้แล้ว แต่งงข้อสองได้คำตอบไม่ตรงกับเฉลยอ่ะครับ ช่วยดูให้หน่อยครับว่าลืมตรงไหน
วิธีทำ $\frac{1}{log_{2}x} +\frac{1}{log_{3}x}+...+\frac{1}{log_{10}x} \leq 1$
$\frac{(log2)(log3)(log4)...(log10)}{logx} \leq 1$
$log10! \leq logx$
$\therefore x = [10!,\infty)$ แต่เฉลยได้ $x=(0,1) U [10!,\infty)$

ส่วนข้อ4คิดไม่ออกครับ

ต้องแยกเป็น 2 กรณี คือ
กรณีที่ 1 $ x อยู่ระหว่าง 0 กับ 1 $
กรณีที่ 2$ x > 1$
แล้วจะได้คำตอบตามเฉลยครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CmKaN

1) ถ้า $log_{12}27 = x$ แล้วจงหา $log_{6}16$ ในเทอมของ x (ขอHintก็ได้ครับ)

2)จงหาเซตคำตอบของอสมการ $\frac{1}{log_{2}x} +\frac{1}{log_{3}x}+...+\frac{1}{log_{10}x} \leq 1$

3)กำหนดให้ $y=\sqrt{2^{2x}+2^{-2x}+2} ; x \geq 0$ แล้ว x มีค่าเท่าใด(ตอบในเทอมy)

4)$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} +\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$ มีค่าเท่าใด

ผมว่าข้อ 4 โจทย์น่าจะผิดนะครับ ที่ถูกน่าจะเป็น
$\sqrt[3]{\sqrt{5}+2} +\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$ มีค่าเท่าใด

[ZiLnIcE]

ต้องแยกสองกรณีนะครับ ผมคิดว่าคุณ CmKanคิดไปเพียงกรณีเดียวครับ
ส่วนข้อ4).
hint: $x=\sqrt[3]{2-\sqrt{5} }$
$y=\sqrt[3]{2+\sqrt{5} }$

then $x^3+y^3=(x+y)[(x+y)^2-3xy]$

ทำต่อดูนะครับ
ปล.ทำไมเวลาผมมาพิมพ์Latex คอมผมชอบค้างทุกทีตอนนี้พิมพ์ได้แล้ว

[CmKaN]

ข้อ2 ทำถูกไหมครับ

$\frac{\log10!}{\log x} \leq 1$ และ $x > 0 ,x \not=1$

$(\log10!)(\log x) \leq \left(\log x\right)^{2} $

$\left(\log x\right)\left(\log\frac{10!}{x}\right) \leq 0$

แยกได้2กรณี

1. $\log x \leq 0 \cap \log\frac{10!}{x} \geq 0$

ได้$ 0<x<1$

2. $\log x \geq 0 \cap \log\frac{10!}{x} \leq 0$

ได้$x \geq 10!$

1+2 ได้ $x=\left(0,1\right) \text{U} \left[10!,\infty\right)$

(ถ้าหาค่าวิกฤตของlogมีกฎอะไรไหมครับ)

ถามอีกข้อน่ะครับ

5)ให้ a,bเป็นสมาชิกของ R ซึ่ง ab = 10 จงหา x+y ในเทอม a,b เมื่อ
$a^{x} \times b^{y+1}=a$
$a^{y+2} \times b^{x-1}=b$

[nongtum]

ข้างบนทำถูกแล้วครับ
การหาค่าวิกฤต หลักๆก็คงต้องระวังว่าใน log ไม่เป็นลบมังครับ

5. จาก $a^xb^y=a/b$ และ $a^yb^x=b^2/a^2$ จะได้ $a^{x+y}b^{x+y}=(ab)^{x+y}=10^{x+y}=b/a$
Take log ก็ได้คำตอบแล้ว

[หยินหยาง]

ข้อ 4. ถ้่าโจทย์ไม่แก้ก็จะได้ว่า
$ \sqrt[3]{2+\sqrt{5}} +\sqrt[3]{2-\sqrt{5}} = 1$
แต่ถ้าแก้ตามที่ผมว่าจะได้
$\sqrt[3]{\sqrt{5}+2} +\sqrt[3]{\sqrt{5}-2} = \sqrt{5}$
ที่ผมว่าโจทย์น่าจะผิดเพราะว่าโจทย์นี้อยูในหนังสือพีชคณิต ของ สอวน. หน้า 65 ถามว่า
จงพิสูจน์ว่า $\sqrt[3]{\sqrt{5}+2} +\sqrt[3]{\sqrt{5}-2} = \sqrt{5}$

[bell18]

โจทย์ผิดต้องเป็นโจทย์ที่มีปัญหาหรือไม่สามารถคิดหาคำตอบได้เลยนะครับ
แต่ข้อ4.นี่มีคำตอบชัดเจน แสดงว่าโจทย์ถูกแล้วครับ