Convergent&Divergent

[ZiLnIcE]

กำหนดให้ ก).$\sum_{n = 1}^{\infty}a_n และ \sum_{n = 1}^{\infty} b_n เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์แล้ว \sum_{n = 1}^{\infty} {a_n}{b_n} เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์$
ข).$\sum_{n = 1}^{\infty}{a_n}^2 และ \sum_{n = 1}^{\infty} {b_n}^2เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์ แล้ว\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n}{b_n} เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์$

ข้อใดบ้างที่เป็นจริง ขออธิบายแบบนิยาม แล้วก็ยกตัวอย่างให้ด้วยครับ

[M@gpie]

ข้อ a. ไม่จริงครับ ให้ $a_n=b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ ซึ่ง
\[ \sum_{n=0}^{\infty}a_n, \;\; \sum_{n=0}^{\infty}b_n\] ลู่เข้าแต่
\[ \sum_{n=0}^{\infty}a_nb_n = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n} \]ซึ่งลู่ออก
ข้อ b. จริงโดย Cauchy-Swartz inequality ครับ
\[ \mid\sum_{n=0}^{\infty}a_nb_n \mid \leq (\sum_{n=0}^{\infty}a_n^2)(\sum_{n=0}^{\infty}b_n^2)\]

[nooonuii]

ข้อ ข. ได้แรงกว่านี้อีกครับ

โดยอสมการ AM-GM จะได้ $|a_nb_n|\leq \dfrac{a_n^2+b_n^2}{2}$ ทุกค่า $n$

ดังนั้น $$\sum_{n=1}^{\infty}|a_nb_n|$$ ลู่เข้าโดย comparison test

เราจึงได้ว่า $$\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$$ ลู่เข้่าอย่างสัมบูรณ์

[konkoonJAi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ZiLnIcE

กำหนดให้ ก).$\sum_{n = 1}^{\infty}a_n และ \sum_{n = 1}^{\infty} b_n เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์แล้ว \sum_{n = 1}^{\infty} {a_n}{b_n} เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์$

ถ้าเราเพิ่มเงื่อนไขว่า $\sum_{n = 1}^{\infty}a_n$ และ $\sum_{n = 1}^{\infty} b_n$ ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ แล้วข้อความจะเป็นจริงมั้ยคะ

[nooonuii]

จริงครับ แค่ตัวใดตัวหนึ่งลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ก็จริงแล้วครับ

สมมติว่า $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ และ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}$ ลู่เข้า

เราจะได้ว่า $b_n\to 0$ ดังนั้น $b_n$ เป็นลำดับมีขอบเขต นั่นคือ มี $M>0$ ซึ่งทำให้ $$|b_n|\leq M$$ ทุกค่า $n$

ดังนั้น $|a_nb_n|\leq M|a_n|$ ทุกค่า $n$ เราจึงได้ว่า $$\sum_{n=1}^{\infty}|a_nb_n|$$ ลู่เข้าโดย comparison test
ดังนั้น $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n}$ ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์

[konkoonJAi]

เยี่ยมยอดจริง ๆ ค่ะ โจทย์ประมาณนี้แหละ อาจารย์ขอบเอามาออกข้อสอบ
คือถามว่า ข้อต่อไปนี้ถูกหรือผิด และพิสูจนให้ดูด้วย แต่ดีที่ยังไม่มีข้อสอบแบบว่า ต้องเพิ่มเงื่อนไขอะไรเข้าไปถึงทำให้โจทย์เป็นจริง

[putmusic]

AM-GM เนี่ยมันอะไรเหรอครับ?

[Mastermander]

AM = Arithmetic Mean

GM = Geometric Mean

[RedfoX]

สงสัยครับ
1.ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์นี่เป็นยังไงหรือครับ
2.comparison test คืออะไรครับ

[nooonuii]

เราจำแนกอนุกรมที่ลู่เข้าไว้สองชนิดครับ คือ

1. อนุกรมที่ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์(Absolutely convergent series) คือ อนุกรม ซึ่ง

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ และ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}|a_n|$ ลู่เข้า

ตัวอย่างของอนุกรมชนิดนี้ก็อย่างเช่น อนุกรมซึ่งลู่เข้าและแต่ละเทอมมีค่าเป็นบวก

2. อนุกรมที่ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข (Conditional Convergent series) คืออนุกรมซึ่งลู่เข้าแต่ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}|a_n|$ ลู่ออก

ตัวอย่างเช่น $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}\dfrac{(-1)^n}{n}$

การทดสอบแบบเปรียบเทียบ (Comprison Test) เป็นการทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมแบบหนึ่งครับ ใจความมีอยู่ว่า

ถ้า $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}b_n$ เป็นอนุกรมซึ่ง $|b_n|\leq a_n$ ทุกค่า $n$ เมื่อ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}a_n$ ลู่เข้า เราจะได้ว่าอนุกรม $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}b_n$ ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์

อนุกรมส่วนใหญ่ที่นักคณิตศาสตร์อยากเจอและนำไปใช้งานได้ดี คือ อนุกรมที่ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ครับ เป็นอนุกรมที่มีคุณสมบัติอันพึงประสงค์หลายอย่าง
ส่วนการทดสอบอนุกรมนั้นยังมีอีกหลายแบบครับ สำหรับเด็กมัธยมยังไม่มีการเรียนการสอนเรื่องนี้ คงต้องหาอ่านจากตำราวิชาแคลคูลัสเบื้องต้น หรือ ไม่ก็ตำราวิชา คณิตศาสตร์เชิงการวิเคราะห์ (Mathematical Analysis) ครับ

[ZiLnIcE]

จากที่พี่nooonuii ยกตัวอย่าง $a_n$ มานี่เป็น Alternating Seriesที่
$$\lim_{x \to \infty} a_n=0$$
แล้วสรุปได้เลยใช่มั้ยครับว่า
$$\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$$
จะ converge โดยที่เป็น monotone decreasing

ปล. อ.ผมบอกว่า มัน diverge ครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ZiLnIcE

จากที่พี่nooonuii ยกตัวอย่าง $a_n$ มานี่เป็น Alternating Seriesที่
$$\lim_{x \to \infty} a_n=0$$
แล้วสรุปได้เลยใช่มั้ยครับว่า
$$\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$$
จะ converge โดยที่เป็น monotone decreasing

ปล. อ.ผมบอกว่า มัน diverge ครับ

ตัวอย่างอันนี้ลู่เข้าครับ ใช้การทดสอบอนุกรมสลับมาช่วยได้ครับ

[ZiLnIcE]

ขอบคุณมากครับ