ขอความช่วยเหลือ ข้อสอบแข่งขัน

[Brownian]

มีข้อสอบแข่งขันบางข้อที่อยากให้ช่วยเฉลยวิธีทำให้หน่อยอ่ะคับ
1. กำหนด $f(x)=\frac{x-4}{x+2}$ และ $g(x)=x^{3}-3x^{2}+5x-11$ แล้ว $(g^{-1}of)(-1)$ มีค่าเท่าใด

2. กำหนดให้ $f(x)=\sqrt{5-g(x)}$ และ $g(x) = \sqrt{5+2x}$ ถ้า $D_{fog}=[a,b]$ จงหา $2(a+b)$

3. กำหนดให้ F เป็นโฟกัสใน $Q_{1}$ ของ $16x^{2}-9y^{2}+32x+36y-164=0$ แล้ว ระยะจากจุด F ไปยังวงกลม $x^2+y^2-2x+4y+1=0$ ที่สั้นที่สุดเป็นเท่าใด

4. ถ้า parabola มีเส้นตรง $y=-2$ เป็น directrix และมีโฟกัสอยู่ที่จุดยอดของ Hyperbola: $25y^2-9x^2-100y-54x-206=0$ ใน $Q_2$ จงหาสมการของพาราโบลา

5. กำหนดให้ $A_x=\bmatrix{1-cos2x & 1+sin2x \\ 1 & \frac{1}{2}+sinx}$ และ $S={x\in [0,2\pi |A_x=singular matrix]}$ จงหาผลบวกของสมาชิกใน S

6. กำหนด g เป็นฟังก์ชันซึ่งมีอนุพันธ์ที่จุด $x>0$ และ $g'(3)=4$ จำนวนเต็มบวก n ที่ทำให้ $g(x^n+2x)=6x^4+4x^3+40$ มีค่าเท่าใด

7. กำหนดให้ $sin \frac{\pi }{100}, sin\frac{2\pi}{100}, sin\frac{3\pi}{100},...,sin\frac{99\pi}{100}$ เป็นรากของสมการพหุนาม $a_1x^{99}+a_2x^{98}+a_3x^{97}+...+a_{100}=0$ ถ้า $a_{100}=-\frac{1}{2^{98}}$ จงหา $a_1$

8. จงพิสูจน์ว่ามีจำนวนตรรกยะ $a, b, c, d$ ซึ่ง $a^2+b^2+c^2+d^2=\frac{14}{13}+13^{99}$

9. จงหาค่าของ $\sum_{\theta = 1^{\circ}}^{44^{\circ}}log_2(1+cosec2\theta+cot2\theta)$

10. กำหนดให้เซต $S=\left\{a,b,c\,\right\}$ เป็นเซตคำตอบของสมการ $x^3+24x^2+mx+n=0$ โดยที่ $\frac{3+\sqrt{39}i}{4}\in S$ จงหาค่าของ $$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)-(a-1)(b-1)(c-1)}{(a+b)(b+c)(c+a)+(a+1)(b+1)(c+1)}$$

ช่วยหน่อยนะครับ...

[t.B.]

เอาข้อเกี่ยวกับพนุนามไปก่อนละกันนะครับ เรื่องอื่นผมลืมๆไปเกือบหมดแล้ว
ข้อ7
จากความสัมพันธ์ของรากและสปส.
$-\frac{a_{100}}{a_1} = sin\frac{\pi }{100} \times sin\frac{2\pi }{100} \times ...\times sin\frac{99\pi }{100} $
$\frac{1}{2^{98} \times a_1} = \frac{100}{2^{100-1} } $
$\therefore a_1= \frac{1}{50} $

[t.B.]

วันนี้มาเพิ่มอีกข้อ
ข้อ10
จากทฤษฏีบทที่ว่า เมื่อสปส.ทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ และมี $m+\sqrt{n} $เป็นรากของสมการแล้วจะได้ $m-\sqrt{n} $เป็นรากของสมการด้วย
เพราะฉะนั้นจะได้ $\frac{3-\sqrt{39} i}{4} $เป็นรากของสมการด้วย
จากความสัมพันธ์ของรากและสปส.(viete's theorem)
จะได้
$a+b+c=-24$
$\frac{3-\sqrt{39} i}{4} +\frac{3+\sqrt{39} i}{4} +c=-24$ $(ให้ a=\frac{3-\sqrt{39} i}{4} ,b=\frac{3+\sqrt{39} i}{4} ) $
$\therefore c=-\frac{51}{2} $
จากความสัมพันธ์ของรากและสปส.อีกเช่นเคยจะได้
$m=ab+bc+ca=ab+c(b+a)=\frac{3-\sqrt{39} i}{4} \times \frac{3+\sqrt{39} i}{4} +(-\frac{51}{2} )\times (\frac{3-\sqrt{39} i}{4} +\frac{3+\sqrt{39} i}{4})=\frac{45}{16} +(-\frac{51}{2} )\times \frac{3}{2}= \frac{153}{4} $
$n=-abc=-(\frac{3-\sqrt{39} i}{4} \times \frac{3+\sqrt{39} i}{4} \times (-\frac{51}{2} ))=\frac{2295}{32} $
กระจาย+แทนค่าพจน์ที่ให้มา
$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)-(a-1)(b-1)(c-1)}{(a+b)(b+c)(c+a)+(a+1)(b+1)(c+1)} $
$=\frac{\frac{3}{2} (b+c)(c+a)-(a-1)(b-1)(c-1)}{\frac{3}{2} (b+c)(c+a)+(a+1)(b+1)(c+1)} $
$=\frac{\frac{3}{2} (c^2+ab+bc+ca)-(abc-ab-bc-ca+a+b+c-1)}{\frac{3}{2} (c^2+ab+bc+ca)+(abc+ab+bc+ca+a+b+c+1)} $
$=\frac{\frac{3}{2} (c^2+m)-(-n-m-24-1)}{\frac{3}{2} (c^2+m)+(-n+m-24+1)} $
$=\frac{\frac{3}{2} (c^2+m)+n+m+25}{\frac{3}{2} (c^2+m)-n+m-23} $
ที่เหลือก็ไม่มีอะไรแล้วแทนค่า c,m,n ซึ่งผมคิดมาให้แล้ว และก็คิดเลขต่อเองนะครับ

[Exceeder]

ข้อ 1.ตอบ 2
หรือเปล่าไม่แน่ใจ แต่น่าจะใช่นะ

ข้อ 3.ตอบ 4-2รากที่2ของ5
หรือเปล่า
วันหลังว่างๆค่อยทำวิธีทำแล้วกันนะ
วันนี้เอาแต่คำตอบไปก่อนแล้วกัน

ข้อ 2. ตอบ 20
เปล่าหว่า ไม่ได้เช็ค
ถ้าผิดพลาดอันใดก็ขออภัยด้วยแล้วกันนะครับ
มือใหม่หัดฝึกวรยุทธ์ครับ
(ตอบหัวข้อยังใช้ไม่ค่อยเป็นเลยเลยแสดงวิธีทำให้ดูมะได้อ่ะ แหะๆ)

[Tohn]

แหม่ น่าเสียดายข้อ9คับ นี่ถ้าเปลี่ยน จาก
$1+\csc2\theta + \cot2\theta$ เป็น $1-(\csc2\theta + \cot2\theta)$ นี่ตอบ22เลยนะครับเนี่ย
มาข้อ5มั่งครับ จัดรูปดีๆแล้วเชคคำตอบ น่าจะเป็น $3\pi$ อะครับ
ส่วนข้อ 2 ที่คุณ exceeder ตอบว่า20 ผมเชคได้90อะคับ

[หยินหยาง]

ขอตอบขัอ 6 ก็แล้วกันยังไม่มีใครตอบว่า n = 7

[gnopy]

ข้อแรก g^-1of(-1)=g^-1(f(-1)) = g^-1(-5) ก็หาว่าg(?)=-5 จะได้ว่า g(-5)= ? ดังนั้น ? ก็คือคำตอบ จะได้ว่า ? = 2
ส่วนข้อสองนั้นเอามาจาก ข้อสอบเอ็นทรานซ์ปี 45 คำตอบก็คือ 90 ครับ

[M@gpie]

ข้อสอง ไม่ได้ลอกมาหมดครับเปลี่ยนตัวเลขนิดนึง 555

[ZiLnIcE]

ข้อ5 แยกตัวประกอบไม่ออกเลยครับ