ช่วยพิสูจน์หน่อยครับ วิชา Analysis มีเค้าโครงบ้างแล้วครับ

[Tzenith]

Prove that $C$ is complete metric space. (C is Complex numbers)

Proof. We prove only $C$ is complete and define $d$ is modulus function.

Let $\{x_n\}$ and $\{y_n\}$ be Cauchy sequence of real numbers.

Let $z_n = x_n + i y_n$ be Cauchy sequence in $C$

Since R is complete, we have there exists $x,y$ is in R such that $x_n \to x$ and $y_n \to y.$

Putting $z = x + iy.$ We will show that $z_n \to z.$

คือลองมั่วๆดูได้ประมาณนี้อ่ะครับ ลองช่วยต่อทีนะครับ ละ d เรานิยามเป็นโมดูลัส ถูกมั้ยครับ แล้วทำอย่างไรต่อ

ช่วยหน่อยนะครับ

[nooonuii]

อีกนิดเดียวก็จะจบแล้วนี่ครับ ลองใช้นิยามการลู่เข้าของลำดับดูครับ

อ้ออสมการนี้น่าจะช่วยได้

$\sqrt{(x_n-x)^2+(y_n-y)^2}\leq |x_n-x|+|y_n-y|$

[Tzenith]

ขอเพิ่มตอนต้นว่า Let $d: C x C \to R$ be metric on $C$ defined by

$d(z_1,z_2) = lz_1 - z_2l$ for all $z_1,z_2$ is in $C.$

อันนี้คือต่อจาก คห.แรก

$d(z_n,z)= $ l$z_n - z$l = l$x_n + i y_n - x - i y$l

$= \sqrt{(x_n - x)^2 + (y_n - y)^2}$

$\leq lx_n - xl + ly_n - yl \to 0.$

Because $x_n \to x$ and $y_n \to y$, so we have $d(z_n,z)\to 0.$

แบบนี้ใช่หรือเปล่าครับ ผิดถูกยังไงบอกด้วยคร้าบ

[nooonuii]

วิธีทำสมบูรณ์แล้วครับ