ข้อสอบ TMC ม. 5 ครั้งที่ 4 /2557 (ล่าสุด)

[Phakawat]

ข้อสอบ TMC ม. 5 ครั้งที่ 4 /2557 (ล่าสุด) รอบแรกครับ

อยากได้วิธีทำหรือแนวคิดของแต่ละข้ออ่ะครับ จะได้เอาไว้ทบทวนครับ

โดยเฉพาะข้อในตอนที่ 2 และตอนที่ 3 คะแนนสูงครับ อยากได้วิธีทำมากๆ

บางข้อผมก็คิดได้เหมือนกันแต่ไม่รู้จะถูกมั้ย 555

ตอนที่ 1

ตอนที่ 2

ตอนที่ 3

ขอบคุณบอร์ด mathcenter มากครับ

[pogpagasd]

$1.x=\log_8\sqrt{2}=\log_{2^3}2^\frac{1}{2}=\frac{1}{6} $
$\log_{2^\frac{1}{2}}2^3=6$
$\therefore$ $ \log_6\frac{1}{6}^6=-6$

[RT OSK]

ขาด ข้อ 22. หน้า -13-
ขอบคุณมากครับ

[pogpagasd]

$4.u\cdot v=\left|u\right| \left|v\right|cos\theta $
เนื่องจากเป็นเวกเตอร์ 1 หน่วย$ u\cdot v=cos\theta$

$\left|2u+5v\right|^2=\left|5u+7v\right|^2$
$\therefore cos\theta =-\frac{9}{10} $

[pogpagasd]

$15.5^{\log_5(\log_3(5-\log_2x))} \leqslant 5^0$
ทำแบบนี้ๆไปเรื่อยๆจะได้ $x\geqslant 4$

ต่อไปเช็คเงื่อนไขหลัง$ log > 0$ เสมอ
$\log_3(5-\log_2x)>0$
$5-\log_2x>1$
$\therefore x<16$

$x>0$

เขียนเส้นจำนวนเอามาอินเตอเซกกันจะได้ [4,16) โจทย์ถามผลบวกทั้งหมดคือ 114 ครับ

[Suwiwat B]

2. ลองวาดกราฟดูนะครับ ... จะได้กราฟของ log ตัดกับกราฟเส้นตรงจุดเดียวที่ x เป็นจำนวนจริงลบเท่านั้น
5. จากที่บอกว่า cosine เเสดงทิศทางเท่ากัน จะได้ว่า $cos^2A+cos^2B+cos^2C = 3cos^2A = 1$ ได้ $A = arccos(\frac{1}{\sqrt{3}}) = arctan(\sqrt{2})$

[Suwiwat B]

3. ข้อ (1),(3) เป็นจริง (4) ลองให้ x=0 ข้อ (2) ลองให้ x=0 ได้ว่า (1),(3),(4) เป็นจริง

ุ6. ดึงเอา $(1-i)^2(1+i)^2$ ออกมาจะได้ดูง่ายขึ้น ได้เป็น $-8i$

8. จะหยิบออกมาเป็นคำ thank you three times ได้ (เหมือนล้อใคร = = ) 3 ครั้งที่หยิบต้องได้มาครบ 3 อัน ทำได้ 6 วิธี ส่วน sample space เป็น 27 หารกันได้ $\frac{2}{9}$

9. (1) ผิด เพราะกราฟจะเป็นกราฟได้ ต้องมีองค์ประกอบ 2 อย่างคือ เซตจำกัด 2 เซต คือ 1. เซตที่ไม่เป็นเซตว่างของจุดยอด (Vertex) = V(G) 2. เซตของเส้นเชื่อม (Edge) ที่เชื่อมระหว่างจุด ซึ่งอาจะเป็นเซตว่างได้

(2) ผลรวมดีกรีเป็นเลขคู่เสมอ
(3) ผิด เพราะ G เชื่อมโยง จะเป็นออยเลอร์เมื่อ จุดยอด "ทุกจุด" ของ G มี degree เป็นจำนวนคู่

11. จะได้ $a_1 + a_n = 52$ เเละ $\frac{n}{2}(a_1+a_n) = 442$ จะได้ว่า $n=17$

12. เเยกตัวประกอบ 2556 มีตัวเลข 2,2,3,3,71 เพื่อให้ได้ผลต่างเยอะๆเอาเเบ่งไปเป็น (71)(3)(3) กับ (2)(2) ได้ผลต่างเป็น 635

13. จากเงื่อนไขจะได้ $2^a = 3^b = 71^c = 2556$ จะอีกนิดหน่อยเอาให้ได้ตามตัว x เป็น

$2556^{\frac{2}{a}} = 4$
$2556^{\frac{2}{b}} = 9$
$2556^{\frac{1}{a}} = 71$

นำทุกสมการมาคูณกันจะได้ $2556 = 2556^x$ จะได้ $x=1$

14. ใช้สมบัติ log เข้าช่วยเปลี่ยน $x^{log_52}$ เป็น $2^{log_5x}$ เเล้วให้เป็น m เเก้สมการออกมาได้ $m^2+m-20=0$ ได้ $m=4$ เเทนกลับไปได้ค่า x หนึ่งค่าที่เป็นจำนวนตรรกยะ

[Suwiwat B]

16. เห็นได้เลยว่า $x=y=z=\frac{\pi}{2}$
ดังนั้น $sin(x+y+z) = sin(\frac{3\pi}{2}) =-1$

18. ลองวาดรูปดูจะเห็นว่า $a^2 + b^2 = c^2 + d^2$

จับสมการที่ให้มาสองอันมายกกำลังสอง

$a^2sin^2x+2absinxcosy + b^2cos^2y = c^2$
$a^2cos^2x+2absinycosx+b^2sin^2y = d^2$

นำมาบวกกัน : $a^2 + b^2 + 2ab(sin(x+y)) = c^2 + d^2$

ดังนั้น $sin(x+y) = 0$ ตรงกับข้อ 4. คือ $1-\frac{a^2 + b^2}{c^2 +d^2} = 0$

19. วาดรูปดูเเล้วได้ว่า $d^2 = 11^2 + 35^2-2(11)(35)cos(\frac{\pi}{3})$
ได้ d=31

20. ด้วยความพยายามอย่างเเสนสาหัสให้ $z=a+bi$ ได้สมการสองสมการ
$(a-2)^2 + (b-5)^2 = 16$ เเละ $(a+4)^2 + (b+3)^2 = 36$
เเก้เเล้วได้ว่า $a=-\frac{2}{5} , b=\frac{9}{5}$ จะได้ $|z|^2 = a^2 +b^2 = \frac{85}{25}$

23. ให้ x=10 จะได้ว่าจำนวนที่ให้มามันเป็น $(x+1)^5$
จำนวนนั้นเลยเเยกได้เป็น $1001^5 = (7)^5(11)^5(13)^5$

จำนวนตัวประกอบที่เป็นบวกเลยเป็น $(5+1)(5+1)(5+1) = 216$

เเต่คำถามคือจำนวนเต็มที่หาร ... ลงตัว --> มีทั้งบวกเเละลบ --> 2(216) = 432 จำนวน

24. ไม่เเน่ใจเเต่ไล่ไปๆเเล้วได้ตัว A ???? เป็นคำว่า NTYRTA

25. ให้รากเป็น $\frac{a}{r},a,ar$

ได้สมการเป็น $\frac{a}{r}+a+ar = 9$
เเละ $\frac{a^2}{r}+a^2+a^2r = 9$

เเก้สมการออกมาได้ $a=1$ เเละ $r=4\pm \sqrt{15}$

ไม่ว่า r จะเป็นอะไร จะได้รากที่มากที่สุดเป็น $4+\sqrt{15}$ จะได้ $p^2 +q^2 = 241$

28. (ทุกตัวมีหน่วยองศา)
$\frac{sin3x}{sinx} - \frac{cos3x}{cosx} = \frac{sin3xcosx-cos3xsinx}{sinxcosx}$
$= \frac{sin2x}{sinxcosx} = \frac{2sinxcosx}{sinxcosx} = 2$ เสมอ เมื่อ $sinx,cosx$ ไม่เป็น $0$

ซึ่งจำนวนใน set S ไม่ทำให้ $sinx,cosx$ เป็น $0$

ดังนั้นผลบวกสมาชิกที่ได้คือ $1+2+3+4+...+89 = 4005$

30. ผมไล่เเล้วได้ $a=3,b=5,c=11$ -->$f(x)=3x^2 + 5x+11$ --> $f(2)=33$

[Phakawat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pogpagasd

$4.u\cdot v=\left|u\right| \left|v\right|cos\theta $
เนื่องจากเป็นเวกเตอร์ 1 หน่วย$ u\cdot v=cos\theta$

$\left|2u+5v\right|^2=\left|5u+7v\right|^2$
$\therefore cos\theta =-\frac{9}{10} $

จาก $\left|2u+5v\right|^2=\left|5u+7v\right|^2$
แล้วจะหาค่า $ u\cdot v$ ได้ยังไงอ่ะครับ งง

[Phakawat]

ขอบคุณครับคุณ Suwiwat B ช่วยได้อยู่หลายข้อเลย

ข้อ 30 ผมได้ 2 คำตอบนะ 33 กับ 55 ได้ $f(x)=3x^2 + 5x+11$ และ $f(x)=11x^2 + 3x+5$

[pogpagasd]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Phakawat

จาก $\left|2u+5v\right|^2=\left|5u+7v\right|^2$
แล้วจะหาค่า $ u\cdot v$ ได้ยังไงอ่ะครับ งง

ลองยกกำลังสองดูเต็มๆครับจะเห็นเองแล้วเอา $cos\theta $ ไปแทนใน$ u\cdot v$ จะตัดกันเองครับ

[Suwiwat B]

มีอีก 2 ข้อที่ไม่เเน่ใจเท่าไรนะครับ

17. ถ้าเเก้สมการธรรมดาถอด arc ออกมาได้ x=x อยู่เเล้ว ... เเต่ก็ต้องมาดูเงื่อนไขของเเต่ละฝั่ง
ฝั่งซ้าย --> ค่า x ที่ได้เป็นค่าของ cos(มุม) --> $-1\leqslant x\leqslant 1$

ฝั่งขวา --> ค่าของ x ที่ได้เป็นค่าของมุมที่ได้จาก arccos --> $0\leqslant x\leqslant \pi$

เอามา intersection กัน --> $0\leqslant x\leqslant 1$

27. จะเลือกค่าของ f(1) + ... + f(5) ให้เป็นจำนวนคี่ เเปลว่ามีเลขคี่ได้ 5 ตัว หรือ 3 ตัว หรือ 1 ตัว
เลือกวางเลขคี่ 5 ตัว ได้ 5C5 = 1
เลือกวางเลขคี่ 3 ตัว ได้ 5C3 = 10
เลือกวางเลขคี่ 1 ตัว ได้ 5C1 = 5
ดังนั้นได้วิธีสร้าง f(1) + ... + f(5) ทั้งหมด 16 วิธี

จะเลือกค่าของ f(ุ6) + ... + f(10) ให้เป็นจำนวนคี่ เเปลว่ามีเลขคี่ได้ 4 ตัว หรือ 2 ตัว หรือ 0 ตัว
เลือกวางเลขคี่ 4 ตัว ได้ 5C4 = 5
เลือกวางเลขคี่ 2 ตัว ได้ 5C2 = 10
เลือกวางเลขคี่ 0 ตัว ได้ 5C0 = 1
ดังนั้นได้วิธีสร้าง f(6) + ... + f(10) ทั้งหมด 16 วิธี

ดังนั้นได้ฟังก์ชันทั้งหมด (16)(16) = 256 ฟังก์ชัน

[pogpagasd]

ข้อ 10 น่าจะไม่ค่อยมีคนถนัดเรื่องนี้ผมว่า 555+

ผมลองวาดแล้วได้ 7 แบบครับ

[benzpp]

|2u+5v|^2 = |5u+7v|^2
4|u|^2 + 20u.v+ 25|v|^2 = 25|u|^2 +70u.v + 49|v|^2
-50u.v = 21+24 (uและv เป็นเวกเตอร์ขนาด1หน่วยค่ะ)
u.v = -9/10

[Phakawat]

ข้อ 20 นี่มีวิธีลัดนอกจากการหาค่า a และ b ก่อนมั้ยครับ เช่นใช้สมบัติของสังยุคหรือค่าสัมบูรณ์

ขอบคุณครับ


ปล. ข้อ Vector เข้าใจแล้ว ขอบคุณมากครับ