ข้อสอบ 6th TUMSO 2550

[warut_suk]

การแข่งขัน TUMSO (Triam Udom Suksa Interschool Mathematics and Scientific Olympiad) เป็นการแข่งขันคณิตศาสตร์ระหว่างโรงเรียน ปีนี้ (2550) จัดขึ้นเป็นครั้งที่ 6 เมื่อวันอังคารที่ 4 ธันวาคม 2550 โรงเรียนที่ได้อันดับ 1-2-3 ได้แก่ สวนกุหลาบวิทยาลัย กรุงเทพคริสเตียน และราชวินิตบางแก้วตามลำดับ

ในที่นี้จะนำข้อสอบมาให้ดูกันนะครับ เริ่มจากรอบแรกก่อน

1. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ลำดับอนันต์ที่นิยามโดย $a_n=(-1)^{n+1}$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก เป็น
ลำดับแกว่งกวัด
(ข) ให้ $O$ เป็นจุดกำเนิด กำหนดจุด $P(a_1,a_2,a_3)$ และกำหนด $A,B,C$ เป็นมุมที่
วัดจากแกนพิกัดด้านบวกทั้งสามตามลำดับไปยัง $\overrightarrow{OP}$ จะเรียก $\cos A,\cos B,\cos C$
ว่า โคไซน์แสดงทิศทางของ $\overrightarrow{OP}$
ข้อใดกล่าวถูกต้อง
ก. (ก) และ (ข) ถูก ข. (ก) และ (ข) ผิด
ค. (ก) ถูกแต่ (ข) ผิด ง. (ก) ผิดแต่ (ข) ถูก

2. ค่าของ $\tan(\frac{3\pi}{11})+4\sin(\frac{2\pi}{11})$ อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้
ก. $(2,3)$ ข. $(3,4)$ ค. $(4,5)$ ง. $(5,6)$

3. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) $\log ab\geq 2\sqrt{\log a\log b}$สำหรับทุกๆจำนวนจริงบวก $a,b$ ซึ่ง $a\neq 1,b\neq 1,ab\neq 1$
(ข) $2^{100}$ เมื่อเขียนในฐานสิบ จะเป็นเลข $31$ หลัก (กำหนดให้ $0.301<\log 2<0.302$ )
ข้อใดกล่าวถูกต้อง
ก. (ก) และ (ข) ถูก ข. (ก) และ (ข) ผิด
ค. (ก) ถูกแต่ (ข) ผิด ง. (ก) ผิดแต่ (ข) ถูก

4. ให้ $A=\{x|x\in Z^+, 2^{3x}+5(2^{x+2})=11(2^{2x}-32\}$
และ $B=\{y|y\in A, y>2\}$
ความสัมพันธ์จาก $A$ ไป $B$ มีทั้งหมดกี่ความสัมพันธ์
ก. $1$ ข. $2$ ค. $3$ ง. ข้อ ก. ข. และ ค. ผิด

5. ให้ $A=\{e_1,e_2,e_3,e_4\}$ โดยที่ $e_1,e_2,e_3,e_4$ เป็นจุด $4$ จุดที่แตกต่างกันบนระนาบหนึ่ง กราฟ $G$ มีเซตของจุดยอดเป็นสับเซตของ $A$ และกราฟ $G$ เป็นต้นไม้ จงหาว่ามีกราฟ $G$ ที่แตกต่างกันกี่กราฟที่สอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าว
ก. $31$ ข. $35$ ค. $38$ ง. ข้อ ก. ข. และ ค. ผิด

6. ให้ $\theta$ เป็นจำนวนจริง ซึ่ง $\csc \theta + \cot \theta = \frac{5}{3}$ จงหาค่า $\cos \theta + \tan \theta$
ก. $\frac{319}{136}$ ข. $\frac{355}{136}$
ค. $\frac{363}{136}$ ง. ข้อ ก. ข. และ ค. ผิด

7. เมื่อพิจารณาตารางค่าความจริงของประพจน์ $[(p\rightarrow q)\vee (r\wedge s)]\leftrightarrow [t\rightarrow (u\cup p)]$
จะมีกี่บรรทัดที่เป็นจริง
ก. $36$ ข. $40$ ค. $44$ ง. ข้อ ก. ข. และ ค. ผิด

[หยินหยาง]

ข้อ 2. ตอบ ข.
ข้อ 3. ตอบ ง.
ข้อ 4. ตอบ ง.
ข้อ 6. ตอบ ก.

[warut_suk]

ครับ คำตอบของคุณหยินหยางถูกต้องทั้งหมดนะครับ เก่งจริงๆ แสดงวิธีคิดสักนิดก็ดีนะครับ เผื่อคนอื่นมาดู

ลองทำข้อที่เหลือก็ได้นะครับ แล้ววันหลังว่างๆผมอาจจะเอาส่วนที่เหลือมาลง

[หยินหยาง]

มาตอบข้อที่เหลือก่อน
ข้อที่1 ตอบ ก คือ ก. และ ข. ถูก
ข้อที่5. น่าจะตอบข้อ ง. ถ้าเข้าใจไม่ผิด คำตอบคือ 42 (เรื่องกราฟไม่ค่อยแน่ใจ)
ข้อที่7. $[(p\rightarrow q)\vee (r\wedge s)]\leftrightarrow [t\rightarrow (u$ $\cup$ $p)]$
ตรงสีแดงหมายถึง "หรือ" $(\vee )$ ใช่หรือเปล่าครับ

ส่วนแนวคิดถ้าว่างจะมาลงให้ครับ เพราะผมไม่ถนัดในการพิมพ์

[ZiLnIcE]

ข้อ6.
หาครน.แล้วย้ายข้างแก้สมการจะได้ว่า
sinx=0 , sinx=15/17 หา cos,tan ได้แล้ว

[EldaR]

ข้อ 5 ตอบ ค. ไม่ใช่เหรอครับ?

[[SIL]]

ขอเพิ่มเติมจากคุณ ZiLnIcE ไม่จำเป็นต้องหา ครน.ก็ได้ครับ ลองใช้ คอนจูเกตในตรีโกณดูสิ (ประโยชน์จากโคฟังก์ชั่น)
$cosec\theta + cot\theta = \frac{3}{5}$
$( cosec\theta + cot\theta)\frac{cosec\theta - cot\theta}{cosec\theta - cot\theta} = \frac{3}{5}$
$\frac{cosec^2\theta - cot^2\theta}{cosec\theta - cot\theta} =\frac{3}{5}$
$\frac{1}{cosec\theta - cot\theta} = \frac{3}{5}$
$cosec\theta - cot\theta = \frac{5}{3}$
ที่เหลือก็ต่อยอดครับ