ordinary differential ค่ะ ช่วยหน่อยนะค่ะ

[Rainie]

ทบ. ให้ f เป็นฟังก์ชันของ t ที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [0,$\infty$ ) ซึ่ง f เป็น exponential order $\alpha$ และ
F(s) = L{f(t)} แล้วสำหรับ s>$\alpha$ ,

L{t^(n) f(t)} = (-1)^n (d^(n)/ds^(n)) F(s)

ช่วยพิสูจน์ แล้วก็อธิบายให้ฟังหน่อยนะค้า ไม่รู้เรื่องเลยจริงๆคะ

[The Cro_no]

ใช้ อุปนัยเอาคับ

[Hirokana]

อือ สูตรนี้ก็ใช้การพิสูจน์เชิงอุปนัยเข้าช่วยตอนท้ายๆ จะพยายามเขียนแบบง่ายๆให้ดูนะครับ

อันดับแรกเราต้องพยายามอ้างนิยามก่อนครับ

จาก $$F\left(\,S\right)= \int_0^\infty e^{-st}f\left(\,t\right) dt $$
$\therefore$ $$\begin{array}{cl} &\frac{d}{ds}F\left(\,S\right) \\
= & \frac{d}{ds}\int_0^\infty e^{-st}f\left(\,t\right) dt \\
= & \int_0^\infty f\left(\,t\right) \left(\,\frac{\partial }{ds}e^{-st}\right) dt\\
= & \int_0^\infty f\left(\,t\right) \left(\,-te^{-st}\right) dt \\
= & -\int_0^\infty f\left(\,t\right) \left(\,te^{-st}\right) dt \\
= & -\textrm{L}\left\{\,tf\left(\,t\right) \right\}
\end{array} $$
เสร็จแล้วลองหาอนุพันธ์อันดับ 2 ดู
$$\frac{d^2}{ds^2}F\left(\,S\right)=\frac{d}{ds}\left(\, -\int_0^\infty e^{-st}tf\left(\,t\right) dt \right)=\int_0^\infty t^2e^{-st} f\left(\,t\right) dt=\textrm{L}\left(\,t^2f\left(\,t\right)\right)$$
และลองหาอนุพันธ์อันดับ 3
$$\frac{d^3}{ds^3}F\left(\,S\right)=\frac{d}{ds}\left(\, \int_0^\infty e^{-st}t^2f\left(\,t\right) dt \right)=-\int_0^\infty t^3e^{-st} f\left(\,t\right) dt=-\textrm{L}\left(\,t^3f\left(\,t\right)\right)$$
$$\begin{array}{c} .\\.\\.\end{array} $$
ซึ่งเราสามารถทำโดยใช้รูปแบบเดียวกันได้เรื่อยๆ โดยอาศัยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ จะได้ว่า
$$\frac{d^n}{ds^n}F\left(\,S\right)=\frac{d}{ds}\left(\, \left(\,-1\right)^{n-1} \int_0^\infty e^{-st}t^{n-1}f\left(\,t\right) dt \right)=\left(\,-1\right)^n\int_0^\infty t^ne^{-st} f\left(\,t\right) dt=\left(\,-1\right)^n\textrm{L}\left(\,t^nf\left(\,t\right)\right)$$

ซึ่งทำให้เราได้สูตรสวยๆออกมาใช้
$\left(\,-1\right)^n\textrm{L}\left(\,t^nf\left(\,t\right)\right)=\displaystyle{\frac{d^n}{ds^n}}F\left(\,S\right)$
หรือ
$\textrm{L}\left(\,\left(\,-t\right)^nf\left(\,t\right)\right)=\displaystyle{\frac{d^n}{ds^n}}F\left(\,S\right)$
หรืิอ
$\textrm{L}\left(\,t^nf\left(\,t\right)\right)=\left(\,-1\right)^n\displaystyle{\frac{d^n}{ds^n}}F\left(\,S\right)$

ประเด็นสำคัญอยู่ที่การนำไปใช้มากกว่า ถ้าตรงไหนไม่เข้าใจถามได้นะครับ

[The Cro_no]

อยากให้ mathcenter กด like ได้เหมือนใน facebook เลยคับ ^^
ชอบประโยค ที่พูดมากเลย