เตรียมสอบสมาคมคณิตศาสตร์ (24 พ.ย.2556)

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o

$x^2+(x-y)^2= \sin^2 \dfrac{\pi}{10} (x+y)^2= x^2+(y-x)^2= \sin^2 \dfrac{\pi}{10} (x+y)^2$ อยู่ในรูป $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$

ดังนั้น เป็นสมการวงกลมรัศมีเท่ากับขนาดของ $\sin \dfrac{\pi}{10} (x+y)^2$ จุดศูนย์กลาง $(0,x)$

มันจะเป็นวงกลมได้อย่างไร

แนะนำว่าลองศึกษาสมการวงกลมดูใหม่นะครับ

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่

$a^2+b^2+c^2+2abc=1$

$a\sqrt{(1-b^2)(1-c^2)}+b\sqrt{(1-a^2)(1-c^2)}+c\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}= \dfrac{3}{2}$

จงหาค่าของ abc

ข้อความน่าจะเป็น ตอบ

ans

$\dfrac{\binom{12}{5}}{2^{12}}$

------------------------------
$a^2+b^2+c^2+2abc=1$
$a^2+2bca+(b^2+c^2-1)=0$
จาก $a$ เป็นจำนวนจริง หา discriminant จะได้

$(b^2-1)(c^2-1) \ge 0$
ในทำนองเดียวกัน จะได้

$(a^2-1)(b^2-1) \ge 0$
$(c^2-1)(a^2-1) \ge 0$

จะได้ $a \ge 1, b \ge 1, c\ge 1$ หรือ $a \le 1, b\le 1, c \le 1$
ซึ่ง ถ้า $a \ge 1, b \ge 1, c\ge 1$ จะขัดแย้งกับ $a^2+b^2+c^2+2abc=1$

ดังนั้น $a \le 1, b\le 1, c \le 1$

ให้ $a= \cos A, b=\cos B$ เมื่อ $A,B \in [0,\dfrac{\pi}{2})$
จาก $a^2+b^2+c^2+2abc=1$ จะได้ $c = -\cos(A+B)=\cos C$ เมื่อ $A+B+C=\pi$

จาก $\cos(A+B+C)=-1$
กระจาย !!!
$\cos A\cos B \cos C-\cos A\sin B\sin C - \cos B\sin C\sin A -\cos C\sin A\sin B = -1$

$abc - (a\sqrt{(1-b^2)(1-c^2)}+b\sqrt{(1-a^2)(1-c^2)}+c\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}) = -1$

$abc = \dfrac{1}{2}$

เขียนย่อๆเอานะครับ ถ้าเขียนเต็มคงยาวกว่านี้

[จูกัดเหลียง]

ขอเเสดงอีกวิธีนะครับ
$\displaystyle \frac{3}{2}=\sum_{cyc} a\sqrt{(1-b^2)(1-c^2)}=\sum_{cyc} a\sqrt{(a^2+c^2+2abc)(a^2+b^2+2abc)}=\sum_{cyc} a\sqrt{a^2+2abc+b^2c^2}=\sum_{cyc} a(a+bc)$
จึงได้ $abc=\dfrac{1}{2}$

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

จงแก้สมการ $x^2+(x-y)^2= 4(x^2+y^2)\sin^2 \dfrac{\pi}{10} $ เมื่อ x,y เป็นจำนวนจริง
c

Hint : (วิธีจากเพื่อนผมนะครับ) $\sin^2 \theta = \frac{1-cos 2\theta}{2}$ และหาค่า discriminant ครับ

ป.ล. คำตอบข้อนี้สวยดีครับ

[Thgx0312555]

3 ข้อนี้ยังไม่ยากมาก แต่อย่าตอบผิดนะครับ

1. ให้ $y= \tan x (1-\sin ^2 x)$ จะมี $x \in [0,2 \pi)$ กี่จำนวน ซึ่งทำให้ $2y^4-5y^3+2y^2=0$

2. จงหาสมการของเส้นตรงทั้งหมดซึ่งผ่านจุด $(3,4)$ และมีระยะตัดแกน $y$ เป็น $2$ เท่าของระยะตัดแกน $x$
(หมายเหตุ : ระยะตัดแกนคิดเครื่องหมายบวกลบด้วย)

3. กำหนดสี่เหลี่ยม $ABDC$ มี $AB=AC=1$ และ $A\hat{B}D =A\hat{C}D=90^{\circ}$ ให้ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}, \theta = B\hat{A}C$
จงเขียน เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับ $\overrightarrow{BD}$ ในรูปของ $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \theta$

[TuaZaa08]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

3 ข้อนี้ยังไม่ยากมาก แต่อย่าตอบผิดนะครับ

1. ให้ $y= \tan x (1-\sin ^2 x)$ จะมี $x \in [0,2 \pi)$ กี่จำนวน ซึ่งทำให้ $2y^4-5y^3+2y^2=0$

2. จงหาสมการของเส้นตรงทั้งหมดซึ่งผ่านจุด $(3,4)$ และมีระยะตัดแกน $y$ เป็น $2$ เท่าของระยะตัดแกน $x$
(หมายเหตุ : ระยะตัดแกนคิดเครื่องหมายบวกลบด้วย)

3. กำหนดสี่เหลี่ยม $ABDC$ มี $AB=AC=1$ และ $A\hat{B}D =A\hat{C}D=90^{\circ}$ ให้ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}, \theta = B\hat{A}C$
จงเขียน เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับ $\overrightarrow{BD}$ ในรูปของ $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \theta$

ข้อ 1 ตอบ 6คำตอบครับ

[Thgx0312555]

ยังไม่ถูกครับ อย่าลืมตรวจคำตอบด้วย ว่าแต่ละคำตอบที่หามานั้นใส่ tan แล้วหาค่าได้ไหม

[TuaZaa08]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

ยังไม่ถูกครับ อย่าลืมตรวจคำตอบด้วย ว่าแต่ละคำตอบที่หามานั้นใส่ tan แล้วหาค่าได้ไหม

ตอบอีกหนึ่งครั้ง 4 คำตอบถูกต้องไหมครับ ?

[Thgx0312555]

ถูกแล้วครับ