โจทย์ฟังก์ชันพหุนาม

[artty60]

ให้ P(x)=(x-1)(x-2)...(x-8)(x-100)
จงหาสัมประสิทธิ์ของ x

ช่วยหน่อยครับ มีวิธีทำที่ง่ายๆมั๊ยครับ

[gon]

สัมประสิทธิ์ของ $x$ ใน $(x-1)(x-2)...(x-8)$ คือ $-(\frac{8!}{1} + \frac{8!}{2} + ... + \frac{8!}{8}) = -8!\times (1+1/2+1/3+...+1/8) = -8!\times \frac{761}{280}$


ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของ $x$ ใน $(x-1)(x-2)...(x-8)(x-100) = (x^8 +... - \frac{(761)8!}{280}x + 8!)(x-100) $ คือ $\frac{(761)(8!)}{270}\times 100 + 8! = \frac{(8!)(3819)}{14}$

เพิ่ม : จงหาสัมประสิทธิ์ของ $x^{98}$ จากการกระจายพหุนาม $(x-1)(x-2)...(x-100)$

ถ้าคิดไม่ออก

สัมประสิทธิ์ของ $x^{n-2}$ ใน $(x-1)(x-2)...(x-n)$ คือ $\frac{(n-1)n(n+1)(3n+2)}{24}$

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

สัมประสิทธิ์ของ $x$ ใน $(x-1)(x-2)...(x-8)$ คือ $-(\frac{8!}{1} + \frac{8!}{2} + ... + \frac{8!}{8}) = -8!\times (1+1/2+1/3+...+1/8) = -8!\times \frac{761}{280}$


ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของ $x$ ใน $(x-1)(x-2)...(x-8)(x-100) = (x^8 +... - \frac{(761)8!}{280}x + 8!)(x-100) $ คือ $\frac{(761)(8!)}{270}\times 100 + 8! = \frac{(8!)(3819)}{14}$

แต่ว่า สัมประสิทธิ์ของ$ x^{n-2}$ ใน $(x-1)(x-2)...(x-n)$ คือ $(-1)\frac{n(n-1)n(n+1)(3n+2)}{24}$ มาเป็นแบบนี้ยังไงครับช่วยบอกขั้นตอนก่อนหน้านี้สัก2หรือ3ขั้นตอนหน่อยได้มั๊ยครับ

จากการสังเกตดูเหมือนสปส.ของ$x^{n-2}$ หาจาก (-1)$\frac{n!}{2!(n-2)!}$คูณกับ(ผลรวมของตัวเลขคูณกันเป็นคู่ๆ ของเลข 1 ถึง n เช่น $(1*2)+(1*3+...+(1*n)+(2*3)+(2*4)+...+(2*n)+(3*4)+...+(3*n)+...+...+(n-1)n)$ ไปต่อไม่เป็นแล้วครับ มึนไปหมดแล้ว

[gon]

โอ๊ะ ผมเขียนเครื่องหมายผิดนิดนึง ต้องตัด $(-1)^n$ ทิ้ง เผอิญติดพัน ไปหยิบเครื่องหมายของ $a_2$ มาใส่แทน วิธีคิดแบบหนึ่งก็คือการหาผลรวมของผลคูณที่จับคู่ แบบที่เขียนไว้นั้นล่ะครับ ซึ่งเขียนเป็นภาษาคณิตศาสตร์ได้เป็น $$a_{n-2}=\sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} ij$$ จากนั้นเมื่อคำนวณออกมา ก็จะได้ค่าข้างต้นน่ะครับ.

เล่นซิกมาเป็นหรือเปล่าครับ.

[artty60]

ขอบคุณครับ
เรื่องซิกม่าเดี๋ยวขอไปศึกษาดูก่อน
สงสัยแล้วจะมาเรียนถามอีกทีนะครับ

[gon]

วิธีซิกมาอาจจะดูยากไปสักนิด แต่ถ้าทำได้แสดงว่าเข้าใจหลักการครบสมบูรณ์ทุกอย่าง

วิธีที่ 2 นี้ง่ายกว่าเยอะ ลองดูรูปนี้ดูดี ๆ ครับ แล้วจะเห็นความลับที่ซุกซ่อนอยู่.

Note. $$\sum_{i=1}^n(i) = \frac{n(n+1)}{2}$$$$\sum_{i=1}^n(i^2) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

วิธีซิกมาอาจจะดูยากไปสักนิด แต่ถ้าทำได้แสดงว่าเข้าใจหลักการครบสมบูรณ์ทุกอย่าง

วิธีที่ 2 นี้ง่ายกว่าเยอะ ลองดูรูปนี้ดูดี ๆ ครับ แล้วจะเห็นความลับที่ซุกซ่อนอยู่.

Attachment 7355

Note. $$\sum_{i=1}^n(i) = \frac{n(n+1)}{2}$$$$\sum_{i=1}^n(i^2) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

โอ้!ดูภาพแล้วเข้าใจเลยครับ สปส.ของ$x^{98}$
ก็จะได้เป็น $\frac{1}{2}(\sum_{i=1}^n(i^3)-\sum_{i=1}^n(i^2))$ ใช่มั๊ยครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

โอ้!ดูภาพแล้วเข้าใจเลยครับ สปส.ของ$x^{98}$
ก็จะได้เป็น $\frac{1}{2}(\sum_{i=1}^n(i^3)-\sum_{i=1}^n(i^2))$ ใช่มั๊ยครับ

โอ้! นี่เรียกว่า ภาพภาพเดียวแทนคณิตศาสตร์ทั้งปวง ถูกต้องครับ.

แต่เป็นสัมประสิทธิ์ของ $x^{n-2}$ นะครับ.

ที่จริงแล้ว ยังมีแนวคิดวิธีที่ 3. ซึ่งเป็นแนวทางพีชคณิตอีกแบบหนึ่ง

ซึ่งถ้ามองเห็นแนวคิดนี้ออกเมื่อไร ก็จะหาค่าของ $a_{n-2}$ ได้อย่างง่ายดายยิ่งกว่าวิธีที่ 2 ครับ

(ที่จริงแล้ว วิธีที่ 2 ก็ซ่อนแนวนิดของวิธีที่ 3 ไว้ในตัวอยู่แล้ว ลองเพ่งดูดี ๆ ครับ แล้วจะเห็นความลับสววรค์อีกครั้ง )

เพิ่ม จงหาสัมประสิทธิ์ของ $x^{97}$ จากการกระจาย $(x-1)(x-2)(x-3)...(x-100)$

ถ้าสนใจก็ลองคิดดูต่อนะครับ.

ถ้าคิดไม่ออก

สัมประสิทธิ์ของ $x^{n-3}$ หรือ $a_{n-3} = -\frac{(n-2)(n-1)n^2(n+1)^2}{48}$

[polsk133]

ไม่ get ภาพอะครับ - -" รบกวนอธิบายทีครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

ไม่ get ภาพอะครับ - -" รบกวนอธิบายทีครับ

ผลรวมของจำนวนต่าง ๆ ในรูปสามเหลี่ยมด้านบนกับด้านล่าง จะมีเท่ากันคือ $a_{n-2}$ นั่นเองและเ้ป็นสิ่งที่เราต้องการหาครับ

ส่วนในแนวทแยงมุม จะมีผลบวกเป็น $1^2+2^2+3^2$ (สมมติว่าเป็น $(x-1)(x-2)(x-3)$)

คราวนี้ ถ้าเรานำจำนวนทั้งหมดในตารางมาบวก กัน เช่น
$(1)(1) + (1)(2) + (1)(3) +
(2)(1) + (2)(2) + (2)(3) +
(3)(1) + (3)(2) + (3)(3)
= (1+2+3)(1+2+3) = (1+2+3)^2 $

ก็คือ $2a_{n-2} + (1^2+2^2+3^2) = (1+2+3)^2$

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ผลรวมของจำนวนต่าง ๆ ในรูปสามเหลี่ยมด้านบนกับด้านล่าง จะมีเท่ากันคือ $a_{n-2}$ นั่นเองและเ้ป็นสิ่งที่เราต้องการหาครับ

ส่วนในแนวทแยงมุม จะมีผลบวกเป็น $1^2+2^2+3^2$ (สมมติว่าเป็น $(x-1)(x-2)(x-3)$)

คราวนี้ ถ้าเรานำจำนวนทั้งหมดในตารางมาบวก กัน เช่น
$(1)(1) + (1)(2) + (1)(3) +
(2)(1) + (2)(2) + (2)(3) +
(3)(1) + (3)(2) + (3)(3)
= (1+2+3)(1+2+3) = (1+2+3)^2 $

ก็คือ $2a_{n-2} + (1^2+2^2+3^2) = (1+2+3)^2$

พอถึงการหาสปส.ของ$x^{n-3}$ดูตาราง3มิติแล้วมึนเลยครับ
ใช้พีชคณิต แล้วง่ายกว่าจริงๆ
$a_{n-3}=\frac{1}{6}[(\sum_{1}^{n}n)^3-2(\sum_{1}^{n}n^2\cdot \sum_{1}^{n}n) +\sum_{1}^{n}n^3]$

ยอดเลยครับ ขอบคุณคุณ gon มากครับ

เอ!แต่ไม่รู้ผิดรึเปล่าเพราะเริ่มมึนน่ะครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

พอถึงการหาสปส.ของ$x^{n-3}$ดูตาราง3มิติแล้วมึนเลยครับ
ใช้พีชคณิต แล้วง่ายกว่าจริงๆ
$a_{n-3}=\frac{1}{6}[(\sum_{1}^{n}n)^3-2(\sum_{1}^{n}n^2\cdot \sum_{1}^{n}n) +\sum_{1}^{n}n^3]$

ยอดเลยครับ ขอบคุณคุณ gon มากครับ

เอ!แต่ไม่รู้ผิดรึเปล่าเพราะเริ่มมึนน่ะครับ

ยังไม่ถูกครับ ที่ถูกคือ $$a_{n-3}= -\frac{\sum_{i=1}^n(i^3) - (\sum_{i=1}^n (i))^3 + 3a_{n-2}a_{n-1}}{3}$$
ผมคงไม่ตั้งคำถามต่อแล้วครับ เพราะถ้าจะถามตอบต่อก็คงเป็น $a_{n-4}$

ซึ่งผมขอเก็บไว้เป็นความลับสำหรับผู้ที่อยากค้นหาจริง ๆ ก็แล้วกันครับ.

[artty60]

ว่าแล้วเชียว มึนจริงๆด้วย

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ยังไม่ถูกครับ ที่ถูกคือ $$a_{n-3}= -\frac{\sum_{i=1}^n(i^3) - (\sum_{i=1}^n (i))^3 + 3a_{n-2}a_{n-1}}{3}$$
ผมคงไม่ตั้งคำถามต่อแล้วครับ เพราะถ้าจะถามตอบต่อก็คงเป็น $a_{n-4}$

ซึ่งผมขอเก็บไว้เป็นความลับสำหรับผู้ที่อยากค้นหาจริง ๆ ก็แล้วกันครับ.

ผมขอแก้ตัวใหม่คิดได้เป็น
$-\frac{1}{6}[(\sum_{i = 1}^{n}(i))^3-3(\sum_{i = 1}^{n}(i)\cdot \sum_{i = 1}^{n}(i^2)+2(\sum_{i = 1}^{n}(i))^2]$
หรือ$-\frac{\sum_{i=1}^{n}(i^3)-\sum_{i=1}^{n}(i)\sum_{i=1}^{n}(i^2)-a_{n-2}a_{n-1}}{3}$
หรือ $-\frac{(n-2)(n-1)n^2(n+1)^2}{48}$

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ผมขอแก้ตัวใหม่คิดได้เป็น
$-\frac{1}{6}[(\sum_{i = 1}^{n}(i))^3-3(\sum_{i = 1}^{n}(i)\cdot \sum_{i = 1}^{n}(i^2)+2(\sum_{i = 1}^{n}(i))^2]$
หรือ$-\frac{\sum_{i=1}^{n}(i^3)-\sum_{i=1}^{n}(i)\sum_{i=1}^{n}(i^2)-a_{n-2}a_{n-1}}{3}$
หรือ $-\frac{(n-2)(n-1)n^2(n+1)^2}{48}$

ผมไม่ได้ตรวจสอบ แต่ถ้าได้คำตอบออกมาตรงแล้ว ก็น่าจะถูกนะครับ

สำหรับ $a_{n-4}$ อันนี้ผมก็ตั้งสมการไว้เท่ ๆ แต่ยังไม่ตรวจสอบเหมือนกันครับ ยังไม่มีอารมณ์จัดรูป

(ในรูปนี้ เครื่องหมายของ $a_{i}$ ใช้เป็นบวกทั้งหมด) ก็น่าจะได้ประมาณว่า$$a_{n-4} = a_{n-3}a_{n-1} + \frac{2(a_{n-2}-a_{n-1}^2)^2 -\sum i^4}{4}$$