ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2 ข้อ

[sahaete]

ข้อ 1 $\quad$ ถ้า $\quad 0<x<\frac{\pi }{2} \quad$ จงหาค่าของ $\quad \; arccot \left\{\,\dfrac{\sqrt{1+sinx}+\sqrt{1-sinx} }{\sqrt{1+sinx}-\sqrt{1-sinx} } \right\}$

ข้อ 2 $ \quad$ กำหนดให้ $ \quad arctan\left\{\, \dfrac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2} }
{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}} \right\}\quad=a \quad $ จงหาค่าของ $\quad x^2 $

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sahaete

1. ถ้า $0<x<\frac{\pi }{2}$ จงหาค่าของ $arccot {\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x} - \sqrt{1-\sin x}}}$

คอนจุเกตตัวส่วนจะได้ $\frac{1+\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} = \cot \frac{x}{2}$

ดังนั้น $arccot {\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x} - \sqrt{1-\sin x}}} = arccot(cot \frac{x}{2}) = \frac{x}{2}$

ข้อ 2. ไม่มีคำถามครับ.

[sahaete]

ผมดูที่เขาเฉลย ข้อ 2 แบบย่อ...โดยการแทน $x^2=\sin2\alpha$ อยากทราบว่ามาได้ไงครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sahaete

ผมดูที่เขาเฉลย ข้อ 2 แบบย่อ...โดยการแทน $x^2=\sin2\alpha$ อยากทราบว่ามาได้ไงครับ

ข้อ 2. กำหนดให้ $arctan[\frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}] = A$
จงหาค่าของ $x^2$

my_solution

$\sqrt{1-x^2}$ จะเป็นจำนวนจริงเมื่อ $|x| \le 1$

ดังนั้นเราสามารถสมมติให้ $x = \pm\sqrt{\cos 2B}$ เมื่อ $-\pi/2 \le 2B \le \pi/2 \Rightarrow -\pi/4 \le B \le \pi/4$
จะได้ $1+x^2 = 2\cos B, 1-x^2 = 2\sin^2B$
ดังนั้น
$arctan[\frac{|\cos B| - |\sin B|}{|\cos B| + |\sin B|}] = A$

กรณีที่ 1. $0 \le B \le \pi/4$
$arctan[\frac{\cos B - \sin B}{\cos B + \sin B}] = A$
$arctan[\frac{1-\tan B}{1+\tan B}] = A$
$arctan(\tan(\pi/4 - B)) = A$

$(Note. arctan(tan x) = x$ เมื่อ $-\pi/2 < x < \pi/2$ ในที่นี้จะได้ว่า $\pi/4 \le \pi/4 - B \le 0$ จึงใช้ได้)

$\pi/4 - B = A \Rightarrow B = \pi/4 - A$

ดังนั้น $x^2 = \cos 2B = cos(\pi/2 - 2A) = \sin 2A$

กรณีที่ 2. $-\pi/4 \le B < 0$
$arctan[\frac{\cos B + \sin B}{\cos B - \sin B}] = A$
$arctan[\frac{1+\tan B}{1-\tan B}] = A$
$arctan(\tan(\pi/4 + B)) = A$

$(Note. arctan(tan x) = x$ เมื่อ $-\pi/2 < x < \pi/2$ ในที่นี้จะได้ว่า ... จึงใช้ได้)

$\pi/4 + B = A \Rightarrow B = -\pi/4 + A$
ดังนั้น $x^2 = \cos 2B = cos(-\pi/2 + 2A) = \sin 2A$

จะเห็นได้ว่าไม่ว่ากรณีก็ตาม จะได้ว่า $x^2 = \sin 2A$ เสมอ

จะสมมติให้ $x = \pm \sqrt{\sin 2B}$ เมื่อ $0 \le 2B \le \pi$ ก็ได้ครับ แต่ต้องแปลง $\sin 2B$ กับ $cos 2B $ เป็นฟังก์ชันแทนเจนต์

[sahaete]

ขอบคุณครับ....ขอเวลาแกะสักหลายวันหน่อยครับ...เพราะยังไม่เข้าถึงนิยามมากนัก แต่ขอบคุณ

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sahaete

ข้อ 2$\quad$ กำหนดให้$ \quad arctan\left\{\, \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2} }
{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}} \right\}=A\quad $จงหาค่าของ $x^2 $

ผมเสนออีกวิธีหนึ่งครับ ใช้ componendo et dividendo

$\dfrac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2} }{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}=tanA$

$\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{-\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{tanA+1}{tanA-1}$

$\dfrac{1+x^2}{1-x^2}=\dfrac{1+tan^2A+2tanA}{1+tan^2A-2tanA}$

$\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1+tan^2A}{2tanA}$

$x^2=sin2A$

[bell18]

คุณ lek2554 เก่งมากครับ

[sahaete]

ยกนิ้วให้เลยคนนี้..สุดยอด......