มาราธอน ค่าย 1

[Pain 7th]

ข้อ 2 #27 นี่ได้เท่าไหร่อ่ะครับ

#28 ผมว่าน่าจะใช่แหละครับ $6^{2555}$ 55555 ผมตกเอง

[Beatmania]

#56 ขอบคุณสำหรับรูปครับพี่ Banker
ผมใช้การหมุน + ไล่มุม ครับ
Attachment 10501
หมุนห้าเหลี่ยม ABCDE เป็นมุม $A\hat B C$ องศาตามเข็มนาฬิกา ให้ชื่อว่า A'B'C'D'E'

ได้ว่า $A'C' = AB$ เพราะว่า $AB=AC$ จากโจทย์

พิจารณา สี่เหลี่ยม $D'AEB$ พบว่า

$B\hat E A+B\hat D' A=B\hat E A+B\hat D A=180$

สี่เหลี่ยม $D'AEB$ แนบในวงกลม

พิจารณา สี่เหลี่ยม $AOBD'$ พบว่า

$A\hat O B+A\hat D' B=180$

สี่เหลี่ยม $AOBD'$ แนบในวงกลม

นทนดก. จะได้

สี่เหลี่ยม $BO'DE$ แนบในวงกลม

รวมแล้วจะได้ว่า หกเหลี่ยม $BOEAD'O'$ แนบในวงกลม

$AOBO'$ แนบในวงกลม

ทำให้ $B\hat O C+B\hat O A=B\hat O' A+B\hat O A=180$

กล่าวคือ O อยู่บน AC

ปล.ตอบคุณ Pain 7 ข้อนั้นตอบ 825 ครับ

[Pain 7th]

น้องเจ ลองลากเส้นตั้งฉากจาก D ไป BE ซึ่งตัดกับ AC ที่ H แล้วจะได้ BCDH เป็น cyclic

ทำให้ได้ ABHE cyclic ดังนั้น EH ตั้งฉากกับ BD ดังนั้น H เป็น orthocenter ของ ADE

ปล. พี่คิดแล้วได้แค่ 550 เองอ่ะครับ ทำไงเอ่ย ?

[Pain 7th]

Geometry

1. ให้ P' เป็นจุดภายในสามเหลี่ยม ลากเส้นตั้งฉากจากจุด P ไปตั้งฉากกับด้าน AB,BC,CA ที่ P,Q,R จงพิสูจน์วว่า สามเหลี่ยม PQR มีจุดศูนย์กลาง incenter เป็นจุด P'

2. ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของ semi-circle และมี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง P,Q เป็นจุดใดๆ บนเส้นรอบวงโดยที่ AP<AQ และ AP ตัดกับ BQ ที่ R และ P,Q ตั้งฉากกับ AB ที่ T,U ตามลำดับ จากนั้นลาก PU ตัดกับ QT ที่ E จงพิสูจน์ว่า RE ตั้งฉากกับ AB

Inequality

1. $a,b,c>0 , n \geq 2$ $$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt[n]{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt[n]{\dfrac{c}{a+b}} \geq \dfrac{n}{n-1} \sqrt[n]{n-1}$$

2. $a,b,c >0 , a+b+c=1$ $$\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{\sqrt{abc}}{c+ab}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$$

ปล. อสมการข้อสุดท้ายมาจากคุณ Keehlzver ขอให้สนุกสำหรับวันปิดเทอมนะครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pain 7th

Geometry

1. ให้ P' เป็นจุดภายในสามเหลี่ยม ลากเส้นตั้งฉากจากจุด P ไปตั้งฉากกับด้าน AB,BC,CA ที่ P,Q,R จงพิสูจน์วว่า สามเหลี่ยม PQR มีจุดศูนย์กลาง incenter เป็นจุด P'

ช่วยทบทวนโจทย์ข้อนี้ให้หน่อยครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pain 7th

Geometry


2. ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของ semi-circle และมี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง P,Q เป็นจุดใดๆ บนเส้นรอบวงโดยที่ AP<AQ และ AP ตัดกับ BQ ที่ R และ P,Q ตั้งฉากกับ AB ที่ T,U ตามลำดับ จากนั้นลาก PU ตัดกับ QT ที่ E จงพิสูจน์ว่า RE ตั้งฉากกับ AB

สรุปจากโจทย์
ต่อ RE ตัด AB ที่จุด F




ลากเส้น AQ, BP PQ ตัดกันที่จุด G จะได้ว่า

$AQ \bot BR, \ BP \bot AR $ (มุมในครึ่งวงกลม)

และ RPGQ แนบในวงกลม (มุมตรงข้ามรวมกัน = สองมุมฉาก)---> มุมดาวเท่ากันตามรูป (อยู่บนส่วนโค้งเดียวกัน)

สามเหลี่ยมUQB คล้ายสามเหลี่ยม AQB (มมม.) จะได้มุมดาวเท่ากัน

ABQP แนบในวงกลม ---> มุมดาวเท่ากันตามรูป (อยู่บนส่วนโค้ง BQ)

ดังนั้น มุม BQU = มุม FRB ----> มุมที่สมนัยกัน -----> QU // RF ---> RF ตั้งฉาก AB $ \ \ \ $Q.E.D.

[Pain 7th]

ทำม PB กับ AQ ถึงตัดกันบน RF ล่ะครับ ขอเหตุผลหน่อย

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

สรุปจากโจทย์
ต่อ RE ตัด AB ที่จุด F
Attachment 10522



ลากเส้น AQ, BP PQ ตัดกันที่จุด G จะได้ว่า

$AQ \bot BR, \ BP \bot AR $ (มุมในครึ่งวงกลม)

และ RPGQ แนบในวงกลม (มุมตรงข้ามรวมกัน = สองมุมฉาก)---> มุมดาวเท่ากันตามรูป (อยู่บนส่วนโค้งเดียวกัน)

สามเหลี่ยมUQB คล้ายสามเหลี่ยม AQB (มมม.) จะได้มุมดาวเท่ากัน

ABQP แนบในวงกลม ---> มุมดาวเท่ากันตามรูป (อยู่บนส่วนโค้ง BQ)

ดังนั้น มุม BQU = มุม FRB ----> มุมที่สมนัยกัน -----> QU // RF ---> RF ตั้งฉาก AB $ \ \ \ $Q.E.D.
Attachment 10523

จากที่คุณลุงทำมาเหมือนกับว่าลุงจะเผลอใช้ว่า R,G,F-colinear นะครับ ซึ่งเราก็ยังไม่รู้ว่าจริงมั้ย

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pain 7th

ทำม PB กับ AQ ถึงตัดกันบน RF ล่ะครับ ขอเหตุผลหน่อย

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

จากที่คุณลุงทำมาเหมือนกับว่าลุงจะเผลอใช้ว่า R,G,F-colinear นะครับ ซึ่งเราก็ยังไม่รู้ว่าจริงมั้ย

นั่นซิ ผมก็ลืมนึกไปว่า สองเส้นตัดกันที่จุด G แล้วรู้ได้ยังไงว่า G อยุ่บน RF

การพิสูจน์คงยาก เดี๋ยวหาวิธีอื่นดูครับ

[Pain 7th]

ใช่แล้วครับบบบ ลองสมมุติว่ามันไม่ได้ตัดบนเส้นนั้นจะเกิดอะไรขึ้นกันนะครับ

ส่วนข้อ $a^2+b^2+c^2=2005$ ใครททำได้บอกด้วยนะครับ เพราะผมก็ทำไม่ได้

[จูกัดเหลียง]

คุณ Pain ช่วยใบ้ #66 หน่อยดิครับ ผมยังไม่รู้ลยว่าสมการจะเกิดตอนไหน 555

ปล.เทพกันเกินไปเเล้วครับ ผมตามไม่ทัน TT

[Pain 7th]

ข้อแรกถ้ารัก AM-GM ก็ออกแล้วครับ

ข้อสองผมเรียนเทคนิคนี้มาจากครสักคนนี่แหละครับ(ใน mc นี่แหละแต่ผมจำกระทู้ที่ผมอ่านเก่าๆไม่ได้)

คล้าน อย่าง $a^2+1$ เราก็แทน $a=\tan A$ เพื่อเราจะได้ลดรูปมัน ข้อนี้ก็คล้ายๆกันครับ ลองให้ $\tan A= \dfrac{bc}{a},\tan B=\dfrac{ca}{b}$ แล้วลองหา $\tan C= ????$ จะได้ $A+B+C= ?????$ ประมาณนี้แหละครับ

[จูกัดเหลียง]

ขอมั่วๆข้อ 2 ก่อนนะครับ
เปลี่ยตัวเเปร $\tan A=\dfrac{bc}{a},\tan B=\dfrac{ca}{b},\tan C=\dfrac{ab}{c}$ ได้ว่า $\tan A\tan B\tan C=1$ เเละ $\dfrac{1}{\sqrt{\tan A}}+\dfrac{1}{\sqrt{\tan B}}+\dfrac{1}{\sqrt{\tan C}}=1$
ดังนั้นจึงต้องการเเสดงว่า $$\frac{1}{\tan A+1}+\frac{1}{\tan B+1}+\frac{\sqrt{\tan C}}{\tan C+1}\le 1$$
ซึ่ง $$\frac{1}{\tan A+1}+\frac{1}{\tan B+1}+\frac{\sqrt{\tan C}}{\tan C+1}\le \frac{1}{2\sqrt{\tan A}}+\frac{1}{2\sqrt{\tan B}}+\frac{\sqrt{\tan C}}{\tan C+1}=\frac{1}{2}\Big(1-\frac{1}{\sqrt{\tan C}}\Big)+\frac{\sqrt{\tan C}}{\tan C+1}$$
ซึ่งให้ $x=\sqrt{\tan C}$ จึงต้องการเเสดงว่า $\dfrac{x^3+x^2+x-1}{2x(x^2+1)}\le 1\leftrightarrow x^3-x^2+x+1\ge 0$
คือผมว่ามันห่างๆไปน่ะครับ = =ช่วยเช็คทีครับ

[Pain 7th]

55555555555 โทษทีครับผมแค่อุปมา จริงๆมันคือ เราอาจจะแทนเป็น $\tan^2 A$ หรืออะไรอย่างนี้อ่ะครับ

[จูกัดเหลียง]

#76 เเต่มันห่างขอบมากๆเลยน่ะครับเลยไม่รู้ว่าผิดตรงไหน 55555