Tilda notation

[suan123]

For $k > -1$, prove
$$ \sum_{i=1}^{k}i^{k}\sim\frac{n^{k+1}}{k+1} $$

รบกวนช่วยแนะนำหน่อยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ suan123

For $k > -1$, prove
$$ \sum_{i=1}^{k}\sim\frac{n^{k+1}}{k+1} $$

รบกวนช่วยแนะนำหน่อยครับ

งงกับสัญลักษณ์ครับ

[suan123]

Definition มันว่ายังงี้ครับ

We say that the sequence of real numbers $a_1,a_2,...$ is asymptotically equivalent to the sequence $b_1,b_2,...$ written $a_n \sim b_n $ if $$ \frac{a_{n}}{b_{n}}\rightarrow 1
$$ as $n \rightarrow \infty$

คือช่วง $k>1$ ผมยังพอถูๆไถๆไปได้ แต่งงมากะช่วง $-1<k<1$ ครับ

[Pitchayut]

สัญลักษณ์นี้มันต้องลู่เข้า 1 ไม่ใช่หรอครับ

ส่วนข้อนี้ใช้การประมาณผลบวกด้วย integral จะง่ายมากเพราะ $f(x)=x^k$ จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มเมื่อ $k>0$ และเป็นฟังก์ชันลดเมื่อ $k<0$ ครับ

[suan123]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut

สัญลักษณ์นี้มันต้องลู่เข้า 1 ไม่ใช่หรอครับ

ส่วนข้อนี้ใช้การประมาณผลบวกด้วย integral จะง่ายมากเพราะ $f(x)=x^k$ จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มเมื่อ $k>0$ และเป็นฟังก์ชันลดเมื่อ $k<0$ ครับ

ขอบคุณที่ช่วยแก้ไขครับ คือช่วงที่ $k>0$ ผมก็ประมาณด้วย lower sum กะ upper sum แล้วก็ใช้ squeeze theorem เอาอะครับ แสดงว่าช่วง $k<0$ ก็ทำเหมือนกันใช่ไหมครับ

[Onasdi]

สำหรับ k<0 ทำเหมือนกันเลยครับ แค่สลับด้านกัน จาก $f(x)=x^k$
ใช้ lower sum $\int_0^n f \geq \sum_{i=1}^n f(i) = \sum_{i=1}^n i^k$
ใช้ upper sum $\int_1^{n+1} f \geq \sum_{i=1}^{n} f(i) = \sum_{i=1}^n i^k$
ลองวาดรูปดูครับ