โจทย์หาค่าไอเกน

[kongp]

Find the eigenvalues and eigenfunctions of the integral operator?

\[
Ku(x) \approx \int\limits_{ - 1}^1 {(1 - \left| {x - y} \right|)u(y)dy}
\]


จำวิธีไม่ได้ครับ ขอความช่วยเหลือด้วยครับ


พงษ์พันธุ์ โปรณะ

[M@gpie]

ไม่หมูนะครับเนี่ย ไม่มีเงื่อนไขอื่นๆเพิ่มเติมเหรอครับเช่น $u$ เป็นฟังก์ชันประเภทไหน space ที่กำลังพิจารณา เป็น space ใด

[kongp]

แบบฝึกหัดครับไม่ใช่โจทย์ ขออภัยด้วยครับ u is the unknown function และ Infinite-dimensional spaces

และแบบฝึกหัดที่ให้ไปสมบูรณ์ครับ ไม่มีการกำหนดเงื่อนไขอะไรอีกครับ เนื้อหาอยู่ในเรื่อง Integral Equations ครับ

[nooonuii]

สมมติว่า $\lambda$ สอดคล้องสมการ $Ku=\lambda u$
For $x\in [-1,1]$,

$\displaystyle{Ku(x)=\int_{-1}^x(1-x+y)u(y)dy+\int_x^1(1+x-y)u(y)dy}$

$\displaystyle{\lambda u(x)=(1-x)\int_{-1}^xu(y)dy+\int_{-1}^xyu(y)dy-(1+x)\int_1^xu(y)dy+\int_1^xyu(y)dy}$

$\displaystyle{\lambda u'(x)=(1-x)u(x)-\int_{-1}^xu(y)dy+xu(x)-(1+x)u(x)-\int_1^xu(y)dy+xu(x)=-\int_{-1}^xu(y)dy-\int_1^xu(y)dy}$

$\displaystyle{\lambda u''(x)=-2u(x)}$

ดังนั้น eigenvalue คือ $\lambda\neq 0$ ส่วน eigenfunction ต้องแก้สมการเชิงอนุพันธ์้เอาครับ

[M@gpie]

มันทำแบบนี้ได้เสมอรึเปล่าครับพี่ Noonuii เพราะผมเคยรู้มาว่า integral equation เวลาแปลงให้มันเป็น Differential equation แล้วบางครั้ง ทำให้คำตอบจะไม่เท่ากัน ??

[nooonuii]

ต้องเอาคำตอบมาเช็คด้วยครับ ผมเองก็ไม่เคยทำโจทย์แนวนี้มาก่อน อาจจะมี $\lambda$ บางตัวที่ใช้ไม่ได้รึเปล่าอันนี้ต้องแก้สมการออกมาดูก่อนครับ

[kongp]

ผมก็งงกับคำตอบที่ได้ช่วยตอบ เพราะ คิดว่า Lamda ไม่เทียบเท่ากับ K เสมอไป และด้วยเหตุผลนี้จะเครียร์กว่านี้ ถ้า Plot รูป คิดว่าอย่างนี้ครับ

[kongp]

และหากไม่รบกวนจนเกินไป อยากทราบงานวิจัยของคุณ Nooonuii ครับ เพราะตามที่ตอบมาเป็นกรอบโดยใช้คณิตศาสตร์แบบตรงไปตรงมามากๆ เลย

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kongp

และหากไม่รบกวนจนเกินไป อยากทราบงานวิจัยของคุณ Nooonuii ครับ เพราะตามที่ตอบมาเป็นกรอบโดยใช้คณิตศาสตร์แบบตรงไปตรงมามากๆ เลย

ผมกำลังทำวืจัยทางด้าน Symbolic Dynamics ครับ เป็นวิชาซึ่งเป็นต้นกำเนิดของ Search Engine Google แต่งานวิจัยของผมตอนนี้แทบจะไม่เกี่ยวกับสาขานี้เลย เพราะปัญหาถูกแปลงไปเป็นปัญหาทาง Euclidean Geometry แทน ซึ่งใช้ความรู้พวก Linear Algebra กับ Topology มากกว่า

[kongp]

มีไฟล์ตัวอย่างงานไหมครับ ผมไม่เข้าใจเนื้อความข้างบนพอ ยอมรับเลย ส่วนเรื่องอินเตอร์เน็ตนี่ ผมยังแค่เริ่ม TCP/IP อยู่เลย ยิ่งส่วนของการออกแบบทางด้านฐานข้อมูลขนาดใหญ่ ที่ว่ามาคุณกล่าวทำนองที่ว่าจะทำให้เหมือน Google ในขั้นแรก แต่คิดว่าจะทำให้ดีกว่าเค้าได้หรือไม่ครับ ผมว่ายากจริงๆ หัวข้อนี้ แต่หากเป็นการเรียนรู้ก็น่าสนใจครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kongp

มีไฟล์ตัวอย่างงานไหมครับ ผมไม่เข้าใจเนื้อความข้างบนพอ ยอมรับเลย ส่วนเรื่องอินเตอร์เน็ตนี่ ผมยังแค่เริ่ม TCP/IP อยู่เลย ยิ่งส่วนของการออกแบบทางด้านฐานข้อมูลขนาดใหญ่ ที่ว่ามาคุณกล่าวทำนองที่ว่าจะทำให้เหมือน Google ในขั้นแรก แต่คิดว่าจะทำให้ดีกว่าเค้าได้หรือไม่ครับ ผมว่ายากจริงๆ หัวข้อนี้ แต่หากเป็นการเรียนรู้ก็น่าสนใจครับ

เข้าใจผิดแล้วล่ะครับ ผมไม่ได้ทำเกี่ยวกับ Google เลย เพียงแต่บอกว่าสาขาที่ผมทำวิจัยอยู่คือจุดเริ่มต้นของ Google ครับ สิ่งที่ผมทำอยู่ตอนนี้เป็นงานวิจัยทางคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ทั้งหมด ถึงแม้จะมีการนำไปประยุกต์ใช้ก็คงเป็นทาง pure math เสียมากกว่า

[kongp]

เอ้อ โทษครับ ผมจบด้านวิศวกรรมไฟฟ้าอิเล็กทรอนิกส์ จึงนึกว่าคุณสนใจด้าน AI(Optimization) ส่วนด้าน Pure Maths ที่กล่าวมาผมก็สนใจครับ แต่ขอกล่าวอะไรหน่อยว่า ศาสาตร์ด้านที่คุณศึกษาส่วนมากจะเป็นการเดาสุ่มจากหลักฐาน(บทความที่อ้างถึงรูปแบบใดๆ)ที่อาจเกี่ยวหรือไม่เกี่ยวอย่างชัดเจน ดังนั้นจึงมีการพิสูจน์ใหม่ จึงมีการล้ม(ปรับปรุง)ทฤษฎีอยู่เรื่อยๆ ผมคิดว่าในประเทศไทยนี้ไม่มีการเปิดเสรีให้ถกเถียงกันเพื่อหาข้อสรุปที่ถูกต้อง ในต่างประเทศที่รู้มาก็มีการแข่งขันกันอย่างรุนแรงมากๆ จนผมเองก็นึกไม่ถึงว่าผู้ที่สนใจด้านวิชาการก็มีเรื่องทำนองของการเล่นพักพวกเพื่อเพิ่มความน่าเชื่อถือ เหล่านี้อาจกล่าวได้ว่าสืบทอดมาจากวงการธุรกิจซึ่งมีผลประโยชน์มีเกี่ยวข้องมากๆ ด้าน Pure Math นี้ ผลงานของ ดร. ในประเทศไทย มีความเห็นที่ปรากฎอยู่ในวารสาร โดยขาดกระบวนการที่มีดังในสังคมตะวันตก เป็นที่น่าเสียดาย เพราะโดนต่างประเทศ Reject Paper อยู่บ่อยๆ นี่แหละครับที่รู้มาไม่ทราบว่าได้มีการแก้ไขปัญหาเหล่านี้อย่างไร พอทราบไหมครับว่าในปัจจุบันก้าวหน้าไปถึงไหน ?

ที่กล่าวไปนั้นไม่เกี่ยวกับแบบฝึกหัดที่ถาม และขอถามต่อนะครับว่าเกี่ยวกับ Kernel จะหาค่าได้ยังไงครับ ?


ขอบคุณครับ

ก้อง

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kongp

แต่ขอกล่าวอะไรหน่อยว่า ศาสาตร์ด้านที่คุณศึกษาส่วนมากจะเป็นการเดาสุ่มจากหลักฐาน(บทความที่อ้างถึงรูปแบบใดๆ)ที่อาจเกี่ยวหรือไม่เกี่ยวอย่างชัดเจน ดังนั้นจึงมีการพิสูจน์ใหม่ จึงมีการล้ม(ปรับปรุง)ทฤษฎีอยู่เรื่อยๆ

ผมว่าไม่น่าเรียกว่าล้มนะครับ ควรเรียกว่าต่อยอด ความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับการยอมรับว่าสมเหตุสมผลจะไม่มีการล้มหรือปรับเปลี่ยนอะไรครับ แต่จะมีการทำให้ความรู้นั้นใช้งานได้กว้างขวางกว่าเดิม(generalization) ของเดิมที่มีอยู่ก็ยังใช้ได้ นี่คือจุดต่างระหว่างคณิตศาสตร์กับวิทยาศาสตร์ครับ ความรู้หลายอย่างในวิทยาศาสตร์มีการปรับเปลี่ยนอยู่ตลอด เช่น เมื่อก่อนเราบอกว่าโลกแบน แต่ตอนนี้เปลี่ยนไปแล้วเพราะเราพบว่ามัน(เกือบ)กลม เมื่อก่อนเราเรียนเรื่องดาวเคราะห์ในระบบสุริยจักรวาล ดาวพลูโต จะเป็นดาวเคราำะห์ดวงที่อยู่ไกลที่สุด แต่ตอนนี้ ดาวพลูโต ไม่ใช่ดาวเคราะห์แล้วครับ

ในทางกลับกัน สูตรการแก้สมการกำลังสอง $ax^2+bx+c=0$
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

มีใช้กันมาตั้งหลายพันปีแล้ว ตอนนี้ก็ยังใช้อยู่ครับ

[kongp]

แบบว่าล้มก็ความหมายหนึ่ง ต่อยอดก็อีกความหมายหนึ่ง ผมใช้ภาษาไทยแบบความหมายตรงตัวครับ แต่หากกล่าวไม่ครบก็เป็นไปได้ครับ ดังนั้นที่ผมกล่าวไปไม่ผิดหรอกครับขอยืนยัน และผมรู้มาว่าคณิตศาสตร์ เป็นวิทยาศาสตร์แบบหนึ่ง ดังนั้น จริงที่ว่า คำตอบหนึ่งของปัญหารูปแบบหนึ่ง อาจไม่เหมาะที่จะเป็นคำตอบสำหรับอีกปัญหาและทุกปัญหา ใช่ไหมครับ ดังนั้นคำกล่าวทางคณิตศาสตร์ต้องผ่านกระบวนการตรวจสอบ ซึ่งแน่นอนว่ามีคำกล่าวในรูปของคณิตศาสตร์ที่ไม่เป็นจริง ดังที่เราเห็นในกระบวนการพิสูจน์ต่างๆ นั้น ไปเพื่ออะไรละครับ ซึ่งก็เพื่อจะทำให้ได้คำตอบที่สมเหตูสมผลในที่สุด ดังนั้นมีการล้มความเชื่อบางประการอย่างแน่นอน อย่างน้อยที่สุดก็ต้องถกกันในเรื่องของความมีอยู่จริงของนิยาม ใช่มั้ยครับ และก็ขอยอมรับว่าที่ได้รับการต่อยอดก็มีแน่นอน
และ สูตรหาคำตอบของสมการกำลังสองที่คุณได้อ้างมา อยู่ในสมัยของ Archimedes ซึ่งเป็นพลเมืองของ Greek city ผมก็เข้าใจว่าตามนั้น ถูกต้องครับ

[MR.Quest]

สูตรนี้ท่องยากครับ \[x= \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]