โจทย์หัดแต่งเองครับ ไม่ยาก

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

เเล้ว Power mean ถูกไหมครับ
ผมพึ่งอ่านมายัง งงๆ อยู่เลย

power mean ต้องทำให้กำลังของตัวแปรในแต่ละข้างเท่ากันทุกเทอมครับ

แต่ที่ทำมาเหมือนกับว่า กำลังของตัวแปรมันไม่สอดคล้องกัน

อีกอย่างตรงค่าเฉลี่ยเราต้องหารด้วยจำนวนตัวแปรที่ใช้

แต่ $r,s$ เป็นจำนวนจริงคงเอามาหารแบบนั้นไม่ได้

[จูกัดเหลียง]

เเล้ว ถ้าเปลี่ยนเเต่ละตัวเป็นเเบบนี้ละครับ เช่น $a^{r-1}\rightarrow (\sqrt[r]{a^{r-1}}^r)$
เพื่อให้ มันกำลัง r ทุกตัวครับ (หรือ ต้องเกี่ยวกับว่าเป็นจำนวนเต็มเท่านั้นเหรอครับ)

[nooonuii]

ถ้าทำแบบนั้นข้างขวาก็ต้องเป็นตัวแปรชุดเดียวกันด้วย

และยังมีปัญหาตรงหารด้วย $r$ อีก

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

3. $n$ เป็นจำนวนนับ

$\sqrt[n]{n-\sqrt[n]{n}}+\sqrt[n]{n+\sqrt[n]{n}}\leq 2\sqrt[n]{n}$

by Power mean
get $\frac{a+b}{2}$ $\leqslant$ $(\frac{a^n+b^n}{2})^{\frac{1}{n}}$
when $a=\sqrt[n]{n-\sqrt[n]{n}}$ , $b=\sqrt[n]{n+\sqrt[n]{n}}$
then $\sqrt[n]{n-\sqrt[n]{n}}+\sqrt[n]{n+\sqrt[n]{n}}\leq 2\sqrt[n]{n}$ done!

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

6. $a,b,c>0,a+b+c=1$

$\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}\geq 2\sqrt{ab+bc+ca}$

by chebyshev
get $$\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}\geqslant (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab})$$
and $$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geqslant 1 , \sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\geqslant \sqrt{a+b+c+ab+bc+ca}=\sqrt{1+ab+bc+ca} ... (*)$$
then get $$(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab})\geqslant \sqrt{1+ab+bc+ca}$$
and by cauchy get $$ab+bc+ca \leqslant \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$$
so $$\sqrt{1+ab+bc+ca}\geqslant 2\sqrt{ab+bc+ca}$$ done!
เเต่ผมไม่ชัวร์ ตรง $(*)$ อะครับ สรุปเลยได้หรือเปล่าครับ

[LightLucifer]

#54 ข้อ 5 ผมยังมองวิธีที่ไม่ยุ่งกับ calculus ไม่ออกเลยครับ hint หน่อยๆ
หายไปนานเลย พอดีช่วงนี้ไม่ค่อยว่าง แต่วันนี้ได้พักละ 55+
ลองข้อนี้ดูนะครับ


ให้ $1\le a,b,c \le2$ จงพิสูจน์ว่า
$$4(a^2+b^2+c^2)\le5(ab+bc+ca)$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

by chebyshev
get $$\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}\geqslant (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab})$$

ลืมอะไรไปรึเปล่า

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

#54 ข้อ 5 ผมยังมองวิธีที่ไม่ยุ่งกับ calculus ไม่ออกเลยครับ hint หน่อยๆ
หายไปนานเลย พอดีช่วงนี้ไม่ค่อยว่าง แต่วันนี้ได้พักละ 55+
ลองข้อนี้ดูนะครับ

Hint แล้วคงง่ายไปเลยครับ เพราะมันอยู่ในโจทย์ระดับง่ายของอสมการ Bernoulli

[จูกัดเหลียง]

อ่อๆ ลืม หาร 3ครับ 555

[LightLucifer]

Bernoulli บอกตรงๆคือผมไม่เคยทำโจทย์ที่ใช้อสมการนี้เลยสักข้อเดียวครับ 55+

[จูกัดเหลียง]

รบกวนคุณ nooonuii หรือ คุณ Lightlucifer ตั้งโจทย์ต่อไปเลยครับ(คิดไม่ออกจริงๆ)



ปล.ข้อที่เหลือผมจะพยายามคิดครับ
ปล.2กลัวกระทู้ร้าง

[LightLucifer]

ผมก็กำลังจะเริ่มคิดต่อแล้วครับ
2 วัน พักพอละ 555+

[nooonuii]

7. ให้ $a$ เป็นจำนวนจริง จงหาค่าต่ำสุดของ

$(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)$

8. ให้ $a$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ จงหาค่าต่ำสุดของ

$(a+2)^2+(\frac{1}{a}+2)^2$

9. ให้ $a\geq 0$ จงพิสูจน์ว่า

$\sqrt[4]{1+a^4}\leq \sqrt[3]{1+a^3}\leq\sqrt{1+a^2}$

10. จงหาจำนวนจริง $k$ ที่มากที่สุดที่ทำให้อสมการ

$a^2+2b^2+3c^2+4d^2\geq a+2b+3c+4d+k$

เป็นจริงทุกจำนวนจริง $a,b,c,d$

11. ให้ $a,b,c$ เป็นความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยม จงพิสูจน์ว่า

$(a+b)(b+c)(c+a)+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\geq 9abc$

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

6. $a,b,c>0,a+b+c=1$

$\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}\geq 2\sqrt{ab+bc+ca}$

MY SOLUTION

$\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}\geq 2\sqrt{ab+bc+ca}$
$\leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3abc+2\sum_{cyc}\sqrt{a^2+abc}\cdot\sqrt{b^2+abc} \geq 4(ab+bc+ca)$
BY CS
$\sum_{cyc}\sqrt{a^2+abc}\cdot\sqrt{b^2+abc} = \sum_{cyc}\sqrt{ab}\cdot (\sqrt{a+bc}\cdot\sqrt{b+ac})\ge \sum_{cyc}\sqrt{ab}\cdot (\sqrt{ab}+\sqrt{ab}c)=\sum_{cyc}(ab+abc)=ab+bc+ca+3abc$
so
$ a^2+b^2+c^2+3abc+2\sum_{cyc}\sqrt{a^2+abc}\cdot\sqrt{b^2+abc} \ge a^2+b^2+c^2+3abc+2(ab+bc+ca)+6abc \ge 4(ab+bc+ca)$
$\leftrightarrow a^2+b^2+c^2+9abc \ge 2(ab+bc+ca)$
$\leftrightarrow (a+b+c)^2+9abc \ge 4(ab+bc+ca)$
$\leftrightarrow (a+b+c)^3+9abc \ge 4(ab+bc+ca)(a+b+c)$
which is true by Schur's inequality

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

8. ให้ $a$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ จงหาค่าต่ำสุดของ

$(a+2)^2+(\frac{1}{a}+2)^2$

ไม่ค่อยแน่ใจเท่าไหร่นะครับ อาจจะboundได้มากกว่านี้

MY SOLUTION

$(a+2)^2+(\frac{1}{a}+2)^2=(a+\frac{1}{a})^2+4(a+\frac{1}{a})+6$
พิจรณา $f(x)=x^2+4x+6$ มีค่าต่ำสุดคือ $2$ เมื่อ $x=a+\frac{1}{a}=-2$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

7. ให้ $a$ เป็นจำนวนจริง จงหาค่าต่ำสุดของ
$(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)$

MY SOLUTION

$(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)=(a^2+5a)^2+10(a^2+5a)+24$
พิจรณา$f(x)=x^2+10x+24$ มีค่าต่ำสุดคือ $-1$ เมื่อ $x=a^2+5a=-5$

[nooonuii]

ข้อ $8$ $a$ เป็นจำนวนจริงครับ

ข้อ $6$ ทำให้สั้นลงได้โดยใช้ Minkowski inequality ครับ

$LHS=\sqrt{a^2+(\sqrt{abc})^2}+\sqrt{b^2+(\sqrt{abc})^2}+\sqrt{c^2+(\sqrt{abc})^2}\geq\sqrt{(a+b+c)^2+(3\sqrt{abc})^2}=\sqrt{1+9 abc}\geq\sqrt{4(ab+bc+ca)}$