ขอถามโจทย์ระบบสมการค่ะ

[Anonymer]

$$คือ ลองคิดๆดูแล้วยังไม่ได้สักทีค่ะ ช่วยแนะนำหน่อยนะคะ ไม่ต้องมากค่ะ ขอบคุณมากค่ะ$$


$$\displaystyle{\sum_{i = 1}^{n} a_i=96}$$
$$\displaystyle{\sum_{i = 1}^{n} a_i^2=144}$$
$$\displaystyle{\sum_{i = 1}^{n} a_i^3=216}$$
$$เมื่อ$$ $$a_i\in \mathbb{R} ^+ , i\in \mathbb{N} $$
$$แล้ว$$ $$\displaystyle{\sum_{i = 1}^{n} a_i^4=?}$$

[วิหก]

ผมเป็นเด็ก ม.ต้นผมไม่รู้จักเครื่องหมาย ∑ หรอกครับรบกวนคุณพี่ที่เก่งช่วยอธิบายให้ผมเข้าใจเครื่องหมาย ∑หน่อยครับ

[nooonuii]

$$\sum_{i = 1}^{n}a_i=a_1+a_2+\cdots + a_n $$

[Anonymer]

ไหงไม่มีใครตอบเลยอ่ะค่ะ = =
แต่ความจริงแล้วหนูก็ได้คำตอบแล้วอ่ะค่ะ แต่ว่า ไม่รู้ว่าวิธีนี้ทำได้รึเปล่าค่ะ

คือ
$$144= 96\times \frac{3}{2}$$
$$216= 144\times \frac{3}{2}$$
$$\displaystyle{\therefore \sum_{i=1}^{n}x_i^4=216\times\frac{3}{2}=324} $$

ซึ่งตรงกับคำตอบที่เขาเฉลยอ่ะค่ะ ยังไงก็ช่วยตรวจดูด้วยนะคะ ขอบคุณมากค่ะ

[kanakon]

solution แบบนี้มันดูไม่มีหลัการและเหตุผลเลยนะครับ น่าจะบอกว่ามายังไง มีเตุผลอย่างไรทำไมต้องคูณ $\frac{3}{2}$ ช่วยอธิบายด้วยนะครับ

[TOP]

กรณีที่ $n = 1$ เห็นได้ชัดว่า ไม่เป็นจริง

กรณีที่ $n = 2$ สมมติ $a_1 = x\ , a_2 = y$ จะได้
$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$ และ
$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 + y^2) - xy(x + y)$ และ
$x^4 + y^4 = (x + y)(x^3 + y^3) - xy(x^2 + y^2)$
ซึ่งลองแทนค่าแล้วไม่เป็นจริง

กรณีที่ $n = 3$ สมมติ $a_1 = x\ , a_2 = y\ , a_3 = z$ จะได้
$x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 - 2(xy + xz +yz)$ และ
$x^3 + y^3 + z^3 = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2) - (xy + xz + yz)(x + y + z) + 3xyz$ และ
$x^4 + y^4 + z^4 = (x + y + z)(x^3 + y^3 + z^3) - (xy + xz + yz)(x^2 + y^2 + z^2) + (xyz)(x + y + z)$

กรณีที่ $n > 3$ ข้อมูลที่ให้มาไม่เพียงพอ หาไม่ได้

อย่างไรก็ตามคำตอบที่ได้ไม่ตรงกับเฉลยของน้อง Anonymer นะครับ และเมื่อตรวจด้วย Mathematica พบว่าเป็นไปไม่ได้ที่ ทุกค่า $a_i \in \mathbb{R^+}$

[owlpenguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TOP

กรณีที่ $n > 3$ ข้อมูลที่ให้มาไม่เพียงพอ หาไม่ได้

พอจะพิสูจน์ให้ดูได้ไหมครับ

[nooonuii]

โจทย์ข้อนี้ต้องใช้อสมการมาช่วยแก้ครับ ถ้าใช้อสมการโคชีจะพบว่า $n\geq 64$
และถ้าให้ $n=64$ และทุกตัวแปรมีค่าเท่ากัน จะได้ว่า ทุกตัวแปรจะมีค่าเท่ากับ $\dfrac{3}{2}$
ดังนั้นคำตอบควรจะเป็น $64\times (\dfrac{3}{2})^4=324$
ส่วนวิธีคิดรอเซียนอสมการมาแสดงฝีมือครับ

[TOP]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ owlpenguin

พอจะพิสูจน์ให้ดูได้ไหมครับ

คือผมมองว่า มีจำนวนตัวแปรมากกว่าจำนวนสมการ ในกรณีที่ $a_i \in \mathbb{C}$ จะทำให้สามารถหาค่า $\sum_{i = 1}^{n} a_i^4$ ได้หลายค่า และถึงแม้ว่าโจทย์จะกำหนดเงื่อนไขให้ $a_i \in \mathbb{R^+}$ ก็ไม่อาจรับประกันได้ว่า จะสามารถหาค่า $\sum_{i = 1}^{n} a_i^4$ ออกมาได้เพียงค่าเดียวเท่านั้น (ยกเว้นจะมีวิธีพิสูจน์ ซึ่งผมยังนึกไม่ออก)

ในกรณีที่ $n > 3$ ค่าที่เราต้องการหาขึ้นอยู่กับอีกค่าหนึ่งซึ่งขาดไป ดังสมการ
$\displaystyle{\sum_{i = 1}^{n} a_i^4 = 12866688 - 4 \sum_{\substack{r,s,u,v= 1 \\ r \not= s \not= u \not= v}}^{n} a_r a_s a_u a_v }$

เรื่องอสมการผมไม่เชี่ยวชาญเลย ก็หวังว่าเซียนอสมการคงจะช่วยพิสูจน์ได้ว่า มีเพียงค่า $n = 64$ เท่านั้นที่สอดคล้องเงื่อนไขทั้งหมด หรืออาจมี $n$ มากกว่า 1 ค่าที่สอดคล้องเงื่อนไข แต่ทุกค่าก็ให้ $\sum_{i = 1}^{n} a_i^4 = 324$ เหมือนกันหมด

[Anonymer]

ข้อนี้หนูได้แล้วล่ะค่ะ ขอบคุณทุกท่านที่มาช่วยตอบนะคะ

คือวิธีที่หนูคิดคือแบบนี้ค่ะ

$$\displaystyle{(\sum_{i = 1}^{n}a_i)(\sum_{i=1}^{n}a_i^3)}=96\times 216=144^2$$
$$\therefore \displaystyle{(\sum_{i = 1}^{n}a_i)(\sum_{i = 1}^{n}a_i^3)=(\sum_{i = 1}^{n}a_i^2)^2}$$

จะได้

$$a_1=a_2=a_3=...=a_n$$

ดังนั้น

$$na_1=96, na_1^2=144, na_1^3=216$$
$$\frac{(na_1^2)(na_1^3)}{na_1}=324=na_1^4$$
$$\therefore\displaystyle{\sum_{i = 1}^{n}a_i^4=324}$$

[Mathophile]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Anonymer

จะได้ $$a_1=a_2=a_3=...=a_n$$

ตรงนี้มาได้ยังไงหรอครับ

[breeze123]

ขำๆครับข้อนี้ (ขำตรงไหนฟะ)
(a1+a2+a3+...+an)(a1^3+a2^3+a3^3+...+an^3)=96*216=144^2
(a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2)^2=144^2
สมการ1=สมการ2 ดังนั้น a1=a2=...=an
คงไม่บังเอิญที่เลขมันลงพอดีหรอกคับ
ดังนั้นนี่คงเป็นเหตุผลพอว่าทำไมต้องคุณด้วย 3/2
ข้อนี้มีหลายวิธีคับ
อาจสมมุติให้ถึงแค่ 3 พจน์ แล้วไต่ไปกำลัง 4 ต่อก็ได้
แต่คงไม่มีใครทำ -.- เลขเป็นล้าน

[owlpenguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mathophile

ตรงนี้มาได้ยังไงหรอครับ

อสมการ Cauchy-Schwarz ครับ

[Anonymer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mathophile

ตรงนี้มาได้ยังไงหรอครับ

ก็ถ้าเกิดไม่เท่ามาแล้ว มันจะเหลือพจน์กลางออกมาเต็มเลยอ่ะค่ะ ซึ่งมันก็ผิดแน่นอนน่ะค่ะ (เหตุผลที่ง่ายที่สุดค่ะ)

[Mathophile]

เข้าใจล่ะครับ ขอบคุณสำหรับทุกคำตอบครับ