รบกวนรังนกอีกเเล้วครับ

[กระบี่ทะลวงด่าน]

1.จงพิสูจน์ว่าในบรรดาจำนวนเต็ม n+2. จำนวน จะต้องมีสองจำนวนซึ่งมีผลบวกหรือผลต่างหารด้วย 2n. ลงตัว
2.จงเเสดงว่าในลำดับ. 7,77,777,7777,...... จะต้องมีจำนวนหนึ่งที่หารด้วย 2003. ลงตัว

[nongtum]

1. จับคู่เศษที่บวกกันได้ 2n เป็นรังนก (นับรัง 0-2n ด้วย) แล้วให้จำนวนเต็ม n+2 จำนวนนี้เป็นนก
2. ให้ 7,77,777,...,7...7 (2004 ตัว) เป็นนก เศษ 0,1,...,2002 เป็นรังนก

[กระบี่ทะลวงด่าน]

ขอบคุณครับ

[Euler-Fermat]

ข้อแรก คงแบ่งรังเอง ไม่ยากนะครับ
ข้อสอง
7,77,777,777...7,... มีเป็นอนันต์ตัว แต่รังคิอ residue group ของ 2003
ซึ่ง มี 2003 ตัว ดังนั้น จาก PHP จะได้ มี อย่างน้อยสองตัวที่มีเศษเท่ากัน
777....777 (i ตัว)$ \equiv r mod 2003......(1)$
777....777 (j ตัว)$ \equiv r mod 2003......(2)$
โดย i>j
$(1)-(2) = 77777..70000....0 \equiv 0 mod 2003$
777..77000...0 = 7777...7(i-j ตัว) $*10^j$
ซึ่ง$ (10^j,2003)=1 $
ดังนั้น 777...7(i-j ตัว)$ \equiv 0 mod 2003$