ช่วยหน่อยครับ เรื่องราก

[Amount of infinite]

$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x} } } }=y$
$\sqrt{y+\sqrt{y+\sqrt{y+\sqrt{y} } } }=x$
ให้หาคู่อันดับ x,y ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคับ

[LightLucifer]

ผมได้ (0,0) อ่ะ

[[SIL]]

ทำแบบนี้ได้หรือไม่ครับ
(i) $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=y$
(ii) $\sqrt{y+\sqrt{y+\sqrt{y+\sqrt{y}}}}=x$
แทนค่า x ใน (ii) ลงใน (i) ไปอนันต์ครั้ง
จะเป็น $\sqrt{y+\sqrt{y+\sqrt{y+\sqrt{y+...}}}} = y$ ทำนองเดียวกันจะได้ $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}} = x$
จะได้ว่า $y=0,2$ และ $x=0,2$ และ $(x,y)$ ทั้งหมดคือ $(0,0),(2,2)$
ปล. วิธีนี้เคยเห็นพี่ nooonuii ทำเมื่อนานมาแล้วครับรู้สึกชื่นชมมาก แต่สมการมันคนละตัวครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

ทำแบบนี้ได้หรือไม่ครับ
(i) $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=y$
(ii) $\sqrt{y+\sqrt{y+\sqrt{y+\sqrt{y}}}}=x$
แทนค่า x ใน (ii) ลงใน (i) ไปอนันต์ครั้ง
จะเป็น $\sqrt{y+\sqrt{y+\sqrt{y+\sqrt{y+...}}}} = y$ ทำนองเดียวกันจะได้ $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}} = x$
จะได้ว่า $y=0,2$ และ $x=0,2$ และ $(x,y)$ ทั้งหมดคือ $(0,0),(2,2)$
ปล. วิธีนี้เคยเห็นพี่ nooonuii ทำเมื่อนานมาแล้วครับรู้สึกชื่นชมมาก แต่สมการมันคนละตัวครับ

อันนี้ผมสงสัยมากอ่ะครับ $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=y$
แทนคู่อันดับ
$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}=2$----------(1)
$2+ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}=4$
$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}=2$---------(2)
$2+\sqrt{2+\sqrt{2}}=4$
$\sqrt{2+\sqrt{2} }=2$
$2+\sqrt{2}=4$ ง่ะ ทำไมเป็นงี้อ่ะ
แต่ถ้าแทน (2)ใน(1) มันจะเป็นจริงิ่ งงงงงงงงงๆๆๆๆๆ

[t.B.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

อันนี้ผมสงสัยมากอ่ะครับ $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=y$
แทนคู่อันดับ
$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}=2$----------(1)
$2+ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}=4$
$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}=2$---------(2)
$2+\sqrt{2+\sqrt{2}}=4$
$\sqrt{2+\sqrt{2} }=2$
$2+\sqrt{2}=4$ ง่ะ ทำไมเป็นงี้อ่ะ
แต่ถ้าแทน (2)ใน(1) มันจะเป็นจริงิ่ งงงงงงงงงๆๆๆๆๆ

เพราะมันไม่จริงตั้งแต่แรกแล้วครับ ถ้าเราเชื่อว่า $2+\sqrt{2} =4$ (1),(2) มันถึงจะเป็นจริง

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

เพราะมันไม่จริงตั้งแต่แรกแล้วครับ ถ้าเราเชื่อว่า $2+\sqrt{2} =4$ (1),(2) มันถึงจะเป็นจริง

อืม จริงด้วยแหะๆๆ งั้น (2,2) ก็ไม่ได้อ่ะสิครับ แล้วจะทำไงต่อดีอ่ะเนี่ย

[[SIL]]

ลองแก้ใหม่อีกทีสิครับ

[t.B.]

เท่าที่ดูถ้า x,y เป็นจำนวนจริงจะมีแค่ (0,0) เป็นคำตอบ แต่ถ้าจำนวนเชิงซ้อนอันนี้คิดว่าคงมีอีกหลาย


ถ้่าพิจารณาเฉพาะ x,y ที่เป็นจำนวนจริง วิธีคือลองสมมติกรณี x>y>0 , x=y , x<y<0


แล้ว x>y>0 แบ่งย่อยเป็น x>y>1 กับ x>1>y>0 เพราะ รากที่สองเวลาตัวในรากมันเป็น 0.กว่าๆ ถอดรากมันจะได้ค่ามากขึ้น


ซึ่งต่างกรณีที่ตัวในรากมากกว่า1 ถอดรากออกมาจะได้ค่าน้อยลง


และกรณี x<y<0 ก็แบ่งได้อีกเช่นกัน ลองคิดทีละกรณีก็จะได้ว่า (0,0) เป็นคู่อันดับเดียวของระบบสมการ2อันนี้