มีข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยที่ญี่ปุ่นมาฝากครับ

[drwut]

$a$ เป็นจำนวนจริงที่ $\left|a\right| \ne 1$ กำหนดฟังก์ชั่น $f_a (x) =$
$f_a (x) = \frac{1-ax}{1+a^2-2ax} + \frac{1+ax}{1+a^2+2ax} $, $\quad (-1\le x \le 1)$
จงหาค่าสูงสุดของ $f_a (x)$

ลองๆทำดูนะครับ ไว้จะมาเฉลยทีหลัง

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ drwut

$a$ เป็นจำนวนจริงที่ $\left|a\right| \ne 1$ กำหนดฟังก์ชั่น $f_a (x) =$
$f_a (x) = \frac{1-ax}{1+a^2-2ax} + \frac{1+ax}{1+a^2+2ax} $, $\quad (-1\le x \le 1)$
จงหาค่าสูงสุดของ $f_a (x)$

ลองๆทำดูนะครับ ไว้จะมาเฉลยทีหลัง

ถ้า $|a|<1$

$\dfrac{2}{1+a^2}\leq \dfrac{1-ax}{1+a^2-2ax} + \dfrac{1+ax}{1+a^2+2ax} \leq\dfrac{2}{1-a^2}$

ถ้า $|a|>1$

$\dfrac{2}{1-a^2}\leq \dfrac{1-ax}{1+a^2-2ax} + \dfrac{1+ax}{1+a^2+2ax} \leq\dfrac{2}{1+a^2}$

Proof:

$\dfrac{1-ax}{1+a^2-2ax} + \dfrac{1+ax}{1+a^2+2ax}=1+\dfrac{1-a^4}{4a^2}\Big[\dfrac{1}{\Big(\frac{1+a^2}{2a}\Big)^2-x^2}\Big]$

[drwut]

คุณ noonuii ทำถูกต้องทุกประการ เดี๋ยวเอาอีก 2 ข้อมาฝากครับ พอรู้ภาษาญี่ปุ่นอยู่บ้างก็อยากจะเอามาแบ่งปันกัน

วันนี้เอามาฝากสองข้อนะ
1. ในการแก้สมการ $x^4-4x^3-16x^2+8x+4=0 \ldots (1) $
(i) ให้ $x-\frac{2}{x} =t $ จงแปลงสมการที่ (1) ให้อยู่ในรูปพหุนามดีกรีสองของ $t$
(ii) จงหารากค่ามากที่สุดของสมการที่ (1)
(ข้อสอบเข้า Keio University '10)

2. ให้ ลำดับ $a_n$ มีค่าเป็นบวก โดยที่ $n=1,2,3,... $ โดย $a_n$ สอดคล้องกับอสมการ
$a_n^3+3a_n^2-(9+\frac{1}{n}) a_n +5 <0$
จงพิสูจน์ว่า $\lim \limits_{n \to \infty}a_n =1 $ และ $(a_n-1)^2<\frac{1}{4n}$
(ข้อสอบเข้า Kyoto University '1976) >>> ยังเป็นวุ้นอยู่เลย