โจทย์น่าสนใจ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

พอดีข้อนี้เห็นในกลุ่มมัธยมปลายครับ

1) กำหนด $\displaystyle A=\left\{\,\right.1,2,3,4,5 \left.\,\right\} $
จงหาจำนวน $f:A\rightarrow A$ ซึ่ง $f(f(x))=x$ ทุกๆ $x \in A$

2) กำหนดฟังก์ชัน $f:\mathbf{N} \rightarrow \mathbf{Z} $ โดย $f(1)=1$
และ $f(2n)= f(n)-1 $ และ $f(2n+1)= f(n)+1$ สำหรับทุก $n \in \mathbf{N} $
หาจำนวนนับ $ n$ ทั้งหมดกี่ตัวซึ่ง $n \leqslant 2015$ และ $f(n)=0$

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตอนนี้ผมทำได้เฉพาะข้อ 1) นะครับ
ตอบ 26 วิธี
วิธีคือ แบ่งเป็น 3 case

1) f ส่งไปที่ตัวเอง 1ตัว จะได้ $\displaystyle \dfrac{4!}{2!2!(2!)}\times \binom{5}{1}=15$

2) f ส่งไปที่ตัวเอง 3 ตัว จะได้ $\displaystyle \binom{5}{2}=10$

3) f ส่งไปที่ตัวเองทุกตัว จะได้ $1$ วิธี

[Pitchayut]

ข้อ 2 ลองหา $f(1), f(2), f(3), ...$ ดู จะพบว่า $f(n)$ คือ จำนวนเลข 1 ลบด้วย จำนวนเลข 0 เมื่อเขียน $n$ อยู่ในรูปเลขฐานสอง