supremum and infimum question

[suan123]

How to prove this statement.

let A and B are nonempty bounded subsets of R. Show that if AอB , then

inf B ฃ inf A ฃ sup A ฃ sup B.

[nooonuii]

Show that $\inf{ B}$ is a lower bound of $A$ and $\sup{ B}$ is an upper bound of $A$.

[M@gpie]

ผมเขียนพิสูจน์ยังไม่ค่อยคล่องอ่ะนะครับ กำลังหัด อิอิ ผิดถูกยังไงก็จะมาแก้ให้ครับ

Let $A\subset B \subset \mathbb{R}$

We can see that $\sup B$ is an upper bounded of set A; therefore, $\sup A \leq \sup B.$

Clearly $\inf A \leq \sup A$. Since $\inf B $ is a lower bounded of set A, then $\inf B \leq \inf A$

[suan123]

ขอบคุณเหล่าผู้อาวุโสที่กรุณาข้าน้อย ข้าน้อมจะจดจำมิมีวันลืม

[suan123]

สามารถเขียนแบบนี้ส่งเลยหรือครับ มันดูไม่ค่อยเหมือนบท prove เลยนะครับ เพิ่งเคยเรียนวิชา pure math course แรกเลยงงกับภาษาคณิตศาสตร์นะครับ ช่วยชี้แนะด้วยครับ

[nooonuii]

ถ้ายังเป็นมือใหม่อยู่ควรเขียนให้ละเอียดกว่านี้ครับ ลองไปไล่นิยามดูนะครับว่าเราต้องเขียนแสดงอะไรบ้าง ที่น้อง Magpie เขียนมาถือว่าลัดอยู่หลายจุด แต่น้อง Magpie เขาเคยเขียนพวกนี้มาหลายรอบแล้วก็เลยลัดได้ครับ ผมว่าข้อนี้ไม่มีอะไรเลยถ้าเราเข้าใจนิยามครับ ลองไปทบทวนนิยามต่อไปนี้นะครับ แล้วทุกอย่างจะบอกเราเองว่าควรทำอะไรบ้าง

$A\subseteq B$ หมายถึง $x\in A \Rightarrow x\in B$
$x$ เป็น upper bound ของ $A$ ถ้า $a\leq x$ ทุก $a\in A$
$y$ เป็น lower bound ของ $A$ ถ้า $a\geq y$ ทุก $a\in A$
$\sup{A}$ คือ upper bound ที่น้อยที่สุด (ดังนั้นจะมีค่าน้อยกว่า upper bound ตัวอื่นๆทุกตัว)
$\inf{A}$ คือ lower bound ที่มากที่สุด (ดังนั้นจะมีค่ามากกว่า lower bound ตัวอื่นๆทุกตัว)