Happy April Fool Day 2017

[Thgx0312555]

เนื่องในโอกาสวัน April Fool Day เหมาะแก่การลงโจทย์ที่ไม่ธรรมดาอย่างยิ่ง
เลยเอาโจทย์มาฝากซักหน่อยครับ

1. ในวันที่ 1 เมษายนปีคริสต์ศักราช 2017 มีเด็กชายคนหนึ่ง ชื่อว่าเด็กชาย P พี่ของเขาได้ถามเขาว่าวันนี้ของปีที่แล้วจนถึงย้อนหลังไป 6 ตรงกับวันอะไรบ้าง เด็กชาย P ได้กล่าวดังนี้
"วันที่ 1 เมษายน 2011 ตรงกับวันอังคาร
วันที่ 1 เมษายน 2012 ตรงกับวันศุกร์
วันที่ 1 เมษายน 2013 ตรงกับวันพฤหัสบดี
วันที่ 1 เมษายน 2014 ตรงกับวันจันทร์
วันที่ 1 เมษายน 2015 ตรงกับวันศุกร์
วันที่ 1 เมษายน 2016 ตรงกับวันเสาร์"
ถามว่าวันที่ 1 เมษายน 2017 ตรงกับวันอะไร
หมายเหตุ ข้อมูลทั้งหมดใน Quote เป็นคำโกหก

2. กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca \le 2$ จงพิสูจน์ว่า $$\dfrac{a+b}{1+a+b}+\dfrac{b+c}{1+b+c}+\dfrac{c+a}{1+c+a} \le 2$$
//โจทย์พิสูจน์ได้แน่นอนไม่โกหก

3. ในห้องเรียนห้องหนึ่งมีนักเรียนรวมตัวเป็นกลุ่มๆก้อนๆตามประสาเด็ก ม.ปลายธรรมดา โดยทราบว่า ทุกสองกลุ่มใดๆจะมีนักเรียนร่วมกันอย่างน้อย 1 คน คุณครูต้องการจะกำหนด role ให้นักเรียนแต่ละคนโดยมีบทบาทได้แก่ ตำรวจ มือปืน และ Magician โดยกลุ่มแต่ละกลุ่มในห้องเรียนต้องสอดคล้องกับ เงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งเงื่อนไข ต่อไปนี้
1) มี Magician อยู่ในกลุ่ม
2) มีทั้งตำรวจและมือปืนอยู่ในกลุ่ม
จงพิสูจน์ว่าคุณครูสามารถจัดกลุ่มได้เสมอโดยใช้ Magician ไม่เกิน 1 คนในห้องเรียน

ถ้ารู้สึกว่ายากเกินไปเปิดดู Hint ได้นะครับ

Hint

แบรรรรร่ 😝😝😝

[otakung]

ข้อ 2.

จัดรูปสมการ $(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2\leqslant 4$

ดังนั้น $a+b\leqslant 2$

จัดรูปได้ $\frac{a+b}{1+a+b}\leqslant \frac{2}{3} $

อีก 2 พจน์ทำในทำนองเดียวกัน จะได้ว่า

$\frac{a+b}{1+a+b}+\frac{b+c}{1+b+c}+\frac{c+a}{1+c+a}\leqslant 2$

[otakung]

ข้อ 1.

สมมติให้วันที่ 1 เมษายน 2011 ตรงกับวัน a
จะได้ วันที่ 1 เมษายน 2012 ตรงกับวัน a+2
วันที่ 1 เมษายน 2013 ตรงกับวัน a+3
วันที่ 1 เมษายน 2014 ตรงกับวัน a+4
วันที่ 1 เมษายน 2015 ตรงกับวัน a+5
วันที่ 1 เมษายน 2016 ตรงกับวัน a+7 (ก็คือวัน a)

ทุกข้อความเป็นเท็จ จะได้ a ต้องเป็นวันศุกร์เท่านั้น ดังนั้น วันที่ 1 เมษายน 2017 ตรงกับวันเสาร์

[Thgx0312555]

ถูกแล้วครับ
ข้อ 1 ทำไว้ขำๆอยู่แล้ว
ส่วนข้อ 2 ไม่คิดว่าจะหลุดไวขนาดนี้ครับ
ส่วนข้อสุดท้ายไม่น่าง่ายละ รอดูละกัน

ถ้าอยากเพิ่มโจทย์ (จะเกี่ยวกับ theme หรือไม่เกี่ยวเลยก็ได้) เพิ่มได้เลยนะครับ

[otakung]

ข้อ 3 ยังคิดไม่ออกครับ Hint ก็มีประโยชน์มาก

[burnzerk]

ข้อ3ที่บอกว่าคุณครูสามารถจัดกลุ่มได้เสมอหมายถึงยังไงอะครับ ทุกคนมีกลุ่มหรือเปล่าครับ?

[กขฃคฅฆง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ burnzerk

ข้อ3ที่บอกว่าคุณครูสามารถจัดกลุ่มได้เสมอหมายถึงยังไงอะครับ ทุกคนมีกลุ่มหรือเปล่าครับ?

ถ้าเข้าใจไม่ผิดคือ นักเรียนมีกลุ่มอยู่แล้ว ส่วนคุณครูมีหน้าที่ใส่บทบาทให้นักเรียนแต่ละคนครับ