ข้อนี้ทําไงหรอครับ

[napong]

กําหนดให้ p(x) เป็นพหุนามดีกรี 2n และ p(k)=$\frac{2^{k}}{k+1}$ สําหรับทุก k=0,1,2,...,2n จงหา p(2n+2)
ขอวิธีทําข้อนี้หน่อยครับ

[Beatmania]

ลองพิจารณา $Q(x)=(x+1)P(x)$ สังเกตว่า $Q(-1)=0$

และต่อไปเราจะนิยาม $\binom{x}{k} $ บนจำนวนจริง $x$ และจำนวนนับ $k$ โดย

$$\binom{x}{k}=\frac{x(x-1)...(x-k+1)}{k!}$$

[สังเกตว่า $\binom{-1}{k}=\frac{(-1)(-2)...(-k)}{k!}=(-1)^k$]

เราจะได้ $Q(x)=[1+\binom{x}{1}+...+\binom{x}{2n}]+\lambda x(x-1)...(x-2n)$

จาก $Q(-1)=0$ ได้ว่า $0=[1+(-1)^1+...+(-1)^{2n}]-(2n+1)!\lambda$ ดังนั้น $\lambda=\frac{1}{(2n+1)!}$

ที่เหลือคือแทนค่า $x=2n+1$ แล้วจัดรูปครับ