IMO;Functional Equation

[The jumpers]

1) ให้ $U=${$f:\mathbf{I} \rightarrow \mathbf{I} \left|\,\right.f(x+y)=f(x)+f(y) ทุกๆ x,y\in \mathbf{I}$}
เเละ $A=${$f\in U\left|\,\right.|f(1000)|\leqslant 3999$}
จงหาว่าAมีสมาชิกกี่ตัว อะไรบ้าง จงระบุมาให้ครบถ้วน
2) กำหนดให้ $A=\mathbf{I}^+\cup ${0}={0,1,2,3,...} เเละให้ $f:A\rightarrow A$ มีสมบัติต่อไปนี้
ก. $f(1)>0$
ข. $f(m^2+n^2)=(f(m))^2+(f(n))^2$ ทุกๆ $m,n\in A$
จงหาค่า $f(3)$

[Tohn]

ข้อ$2$นี่ แทน m=m , n=0 จะได้สมการบางอย่าง แล้วก็คงหาต่อ แค่ f(0),f(1), f(2) และ f(5)
แล้วก็พิจารณา $f(25)=f(9+16)$ ทำต่ออีกนิ๊ส ก็จะได้ f(3)=3 ตามวิธีเด็กๆอย่างผมทำ ฮ่าๆ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ The jumpers

1) ให้ $U=${$f:\mathbf{I} \rightarrow \mathbf{I} \left|\,\right.f(x+y)=f(x)+f(y) ทุกๆ x,y\in \mathbf{I}$}
เเละ $A=${$f\in U\left|\,\right.|f(1000)|\leqslant 3999$}
จงหาว่าAมีสมาชิกกี่ตัว อะไรบ้าง จงระบุมาให้ครบถ้วน

ใช้ induction ได้ $f(x)=f(1)x$

$|f(1000)|\leq 3999\Rightarrow |f(1)|\leq 3.999$

$f(1)=-3,-2,-1,0,1,2,3$

$|A|=7$

[MINGA]

เอ....ถ้า $f(x+y)=f(x)+f(y) $ แล้ว $f(x)=f(1)x$ เสมอรึเปล่าครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MINGA

เอ....ถ้า $f(x+y)=f(x)+f(y) $ แล้ว $f(x)=f(1)x$ เสมอรึเปล่าครับ

ถ้าไม่มีเงื่อนไขเพิ่ม ไปได้ไกลสุดที่เซตของจำนวนตรรกยะครับ
ถ้าจะให้จริงบนเซตของจำนวนจริง ต้องเพิ่มเงื่อนไขบางอย่างด้วยเช่น

- $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
- $f$ เป็น monotone ฟังก์ชัน
- $f$ มีขอบเขตในทุกช่วงปิด $[a,b]$

แต่ละเงื่อนไขจะทำให้ $f(x)=f(1)x,\,\forall x\in\mathbb{R}$ ครับ