รบกวนถามวิธีคิดโจทย์ข้อนี้หน่อยค่ะ

[Sailomab]

สุ่มจุดสามจุดบนวงกลม จงหาความน่าจะเป็นที่ไม่ว่าจะเลือกสองจุดใดๆ จะมีระยะระหว่างจุดทั้งสองยาวน้อยกว่าระยะรัศมี

[Amankris]

โจทย์น่าสนใจดีนะครับ

[kongp]

กำหนดให้ S = {จุด|$ x^2 + y^2$ = r}
จากกฏการเลือกจัดหมู่ $$C = \binom{S}{3}$$ คือจำนวนจุดบนวงกลม 3 จุดใดๆ

จากโจทย์ได้ว่า คำตอบของงานแรกคือ $C$ สำหรับการสุ่ม 3 จุดใดๆ

ขั้นต่อไป จากข้อกำหนดที่ว่าเมื่อเลือก 2 จุดจากสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากับ r
D = {จุด|$ \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} =\geqslant$ r}

เมื่อ S=100000

คำตอบคือ

Solution = {จุด| $H(C)-H(D)$}
P(Solution) = (P(C)-P(D)) $\approx P(C)-P(A)P(B)(1-\lambda ))/2$ ;$\lambda \approx rcos\theta , P(A)=1/2^S$,$P(B)=1/2^(S\cdot \lambda -1)$

โปรแกรม Latex มี error เขียนต่อไม่ได้ครับ แต่ก็ประมาณนี้แหละ ที่แม่นยำกว่านี้ มีการอินทริเกรตด้วย ไม่ขอลองตอนนี้ ฮ่าๆๆๆๆๆๆๆ

[kongp]

หา P(C) ก็ไม่ยากนะครับ H(D)/H(S) นั่นเอง เท่ากับ $S!/((S-3)!3!x2^(100000))= 100000!/((99997)!3!x2^(100000)) = 1.67x10^(-30089)$.

ค่า prop. ไม่เกิน 1 น่าจะถูกนะครับ
พอรวมกันแทนในสมการของ P(Solution) แล้ว จะได้คำตอบโดยประมาณของผมคือประมาณ P(C) นั่นเอง Ans.

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kongp

หา P(C) ก็ไม่ยากนะครับ H(D)/H(S) นั่นเอง เท่ากับ $S!/((S-3)!3!x2^(100000))= 100000!/((99997)!3!x2^(100000)) = 1.67x10^(-30089)$.

ค่า prop. ไม่เกิน 1 น่าจะถูกนะครับ
พอรวมกันแทนในสมการของ P(Solution) แล้ว จะได้คำตอบโดยประมาณของผมคือประมาณ P(C) นั่นเอง Ans.

เลข 100,000 มาจากไหนครับ ???? ดูแล้วไม่น่าเกี่ยวนะครับ

[Sailomab]

ทำไม s=100000 เหรอคะ

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kongp

กำหนดให้ S = {จุด|$ x^2 + y^2$ = r}
จากกฏการเลือกจัดหมู่ $$C = \binom{S}{3}$$ คือจำนวนจุดบนวงกลม 3 จุดใดๆ

จากโจทย์ได้ว่า คำตอบของงานแรกคือ $C$ สำหรับการสุ่ม 3 จุดใดๆ

ขั้นต่อไป จากข้อกำหนดที่ว่าเมื่อเลือก 2 จุดจากสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากับ r
D = {จุด|$ \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} =\geqslant$ r}

เมื่อ S=100000

คำตอบคือ

Solution = {จุด| $H(C)-H(D)$}
P(Solution) = (P(C)-P(D)) $\approx P(C)-P(A)P(B)(1-\lambda ))/2$ ;$\lambda \approx rcos\theta , P(A)=1/2^S$,$P(B)=1/2^(S\cdot \lambda -1)$

โปรแกรม Latex มี error เขียนต่อไม่ได้ครับ แต่ก็ประมาณนี้แหละ ที่แม่นยำกว่านี้ มีการอินทริเกรตด้วย ไม่ขอลองตอนนี้ ฮ่าๆๆๆๆๆๆๆ

อยากให้ดูวิธีผมครับ

นั่นคือ เราต้องเลือกจุดให้อยู่ใน sector ยาว $\frac{\pi}{3}$

ให้ $E$ เป็นเหตุการณ์ที่เลือกจุด $a,b,c$ แล้ว $a,b,c$ อยู่ใน sector ยาว $\frac{\pi}{3}$
ดังนั้นในแต่ละกรณีของ $E$ สามารถเรียงลำดับจุดจากทวนเข็มไปตามเข็ม เราจะระบายสีจุดแรกที่พบ

ให้ $F$ เป็นเหตุการณ์ที่เลือกจุด $a,b,c$ แล้ว $a,b,c$ อยู่ใน sector ยาว $\frac{\pi}{3}$ และ $a$ ถูกระบายสี

จะพบว่า $P(F)=\dfrac{P(E)}{3}$

แต่เราสามารถคำนวณหา $P(F)$ ได้ไม่ยาก จะได้ว่า $P(F)=(\dfrac{1}{6})^2$

...

fix จุด $A$ ไว้ จุด $B,C$ ต้องเกิดจากการหมุนจุด $A$ ทวนเข็มนาฬิกาไม่เกิน $\frac{\pi}{3}$

$\therefore P(E)=\dfrac{1}{12}$

ซึ่งก็ใกล้เคียงกับคำตอบ $10^{-19}$ พอๆกับใกล้เคียงกับ $0$ น่ะแหละครับ

[Sailomab]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

อยากให้ดูวิธีผมครับ

นั่นคือ เราต้องเลือกจุดให้อยู่ใน sector ยาว $\frac{\pi}{3}$

ให้ $E$ เป็นเหตุการณ์ที่เลือกจุด $a,b,c$ แล้ว $a,b,c$ อยู่ใน sector ยาว $\frac{\pi}{3}$
ดังนั้นในแต่ละกรณีของ $E$ สามารถเรียงลำดับจุดจากทวนเข็มไปตามเข็ม เราจะระบายสีจุดแรกที่พบ

ให้ $F$ เป็นเหตุการณ์ที่เลือกจุด $a,b,c$ แล้ว $a,b,c$ อยู่ใน sector ยาว $\frac{\pi}{3}$ และ $a$ ถูกระบายสี

จะพบว่า $P(F)=\dfrac{P(E)}{3}$

แต่เราสามารถคำนวณหา $P(F)$ ได้ไม่ยาก จะได้ว่า $P(F)=(\dfrac{1}{6})^2$

...

fix จุด $A$ ไว้ จุด $B,C$ ต้องเกิดจากการหมุนจุด $A$ ทวนเข็มนาฬิกาไม่เกิน $\frac{\pi}{3}$

$\therefore P(E)=\dfrac{1}{12}$

ซึ่งก็ใกล้เคียงกับคำตอบ $10^{-19}$ พอๆกับใกล้เคียงกับ $0$ น่ะแหละครับ

ทำไม P(F)=(1/6)^2 คะ

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

fix จุด $A$ ไว้ จุด $B,C$ ต้องเกิดจากการหมุนจุด $A$ ทวนเข็มนาฬิกาไม่เกิน $\frac{\pi}{3}$

จุด $B,C$ ต้องอยู่ในช่วง $[0,\frac{\pi}{3})$ จากช่วงที่เลือกได้ $[0,2\pi)$ ครับ

[kongp]

S = Serogate แปลไทยว่า "ร้อยเรียงเป็นพวง"

ในที่นี้คือ จำนวนจุดบนวงกลม ยิ่งมากยิ่งดี smooth มาก

ไงครับ

[tngngoapm]

มีเฉลยไหมครับ โจทย์น่าสนใจดี

[kongp]

สมัยเรียนผมก็ตอบแบบนี้แหละ ติวมา คำตอบจริงๆ เท่ากับ $$10^(-19)$$ แต่ใช้วิธีผมนะ เดาว่าน่าจะใช้ S = 1,000

สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกา จะมี Column ถาม-ตอบ ปัญหาคณิตศาสตร์ ตีพิมพ์ในวารสาร จะมีเป็น

Solution 1
Solution 2
Sulution 3
...

[Sailomab]

เฉลยตอบ 1/12 ค่ะ ขอบคุณสำหรับวิธีคิดมากเลยนะคะ