ช่วยดูการบ้านวิชาทฤษฎีเซตหน่อยนะครับ

[พายุ ดอนแก้ว]

ช่วยแนะหน่อยนะครับ (ถ้าพิสูจน์ให้ดูก็จะดีมากครับ ตอนนี้งงไปหมดแล้ว ไม่รู้จะเขียนแบบไหนดี ขอบคุณครับ)

1.กำหนดให้ V เป็นเซต จงแสดงว่า ฟังก์ชัน $ f:P(V)\rightarrow P(V) $ ซึ่งนิยามโดย $f(A)= V-A,A\subseteq V$เป็นฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่อหนึ่ง

2.กำหนดให้ ${I}_{A}$ เป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์บนเซต A และ C เป็นเซต จงแสดงว่า ${I}_{A}(C) = A\cap C$

3.กำหนดให้ $ f:C \rightarrow A และ g:B \rightarrow A$ จงแสดงว่า

3.1 ถ้า g เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แล้วจะมี $h:C \rightarrow B$ ที่ซึ่ง $f=g\circ h$ ก็ต่อเมื่อ $Ran(f) \subseteq Ran(g) $
3.2 ฟังก์ชันในข้อ 3.1 มีเพียงฟังก์ชันเดียว

4. กำหนดให้ $\left\{\,Ai\mid i\in I\right\} และ \left\{\,Bj\mid j\in J\right\}$ เป็นการรวมกันอยู่ของเซตในรูปเซตดัชนี จงแสดงว่า

4.1$(\bigcup\limits_{i\in I}{{{A}_{i}}})-(\bigcup\limits_{j\in J}{{{B}_{j}}})=\bigcup\limits_{i\in I}{(\bigcap\limits_{j\in J}{[{{A}_{i}}-{{B}_{j}}]})}$
4.2 $(\bigcap\limits_{i\in I}{{{A}_{i}}})-(\bigcap\limits_{j\in J}{{{B}_{j}}})=\bigcap\limits_{i\in I}{(\bigcup\limits_{j\in J}{[{{A}_{i}}-{{B}_{j}}]})}$
4.3 ถ้าแต่ละ $i \in I$ มี $j\in J$ ที่ซึ่ง ${{B}_{j}}\subseteq {{A}_{i}}$ แล้ว $\bigcap\limits_{j\in J}{{{B}_{j}}}\subseteq \bigcap\limits_{i\in I}{{{A}_{i}}} $

[กขฃคฅฆง]

1. f(A) = f(B)
V-A = V-B
A=B
f : 1-1

f(V-A) = A
f ทั่วถึง