Moduli of curve families

[B บ ....]

คือ อ่าน paper แล้ว งง ศัพท์อ่ะครับ search หาดูไม่เจอ
Let D be a domain in $\mathbb{C} $ and a function p(z) be real-valued,measurable and almost everywhere non-negative, and from $L^2(D)$ (Leabeague space) Let this function define a $$ differential \ metric \ p \ on \ D \ by \ p:=p(z)|dz|$$ $$Moreover, \ we \ define\ a \ conformal \ invariant \ metric \ p\ which \ is\ represent \ in \ D \ as \ above$$
งงสองประโยคนี้มากครับ differential metic, conformal invariant metric ????

[nooonuii]

คำตอบน่าจะอยู่ใน paper นะครับ เพราะมันจะต้องถูกนำไปใช้ที่ใดที่หนึ่ง ลองตีความจากตรงนั้นครับ

[B บ ....]

หรอครับ งง T T
ขอถามอึกอย่างว่า conformal mapping นี่ เป็น 1-1 transformation เสมอเลยหรอครับ
เผอิญไปเห็นนิยาม conformal mapping 2 แบบ แบบนึงจะเขียนประมาณว่า f เป็น conformal mapping บน complex domain D ถ้า f เป้นฟังก์ชันวิเคราะห์บน D และ $f'(z_0)\not= 0 \ \forall z_0 \in D $
อีกแบบจะนิยามว่าถ้า f เป็นฟังก์ชันสอดคล้อง 1.) 1-1 2.)f และ f inverse หาอนุพันธ์ได้ทุกอันดับ(อันนี้ งงๆ แค่ 1-1 ทำไมรู้ว่ามีอินเวอร์สเลย รึ conformal นี่ onto ตลอด) 3.)ส่ง smooth curve ไปเป็น smooth curve และ 4.) preserve angle แล้วจะเรียก f ว่า conformal mapping
งง ไม่รู้จะใช้นิยามยังไงดี

[nooonuii]

สองนิยามนี้ทำผมสับสนมาหลายวันแล้วเพราะมีคนเอามาถามเหมือนกัน

โดยทั่วไปเราจะนิยามเป็นแบบหลังครับ แล้วแบบแรกจะตามมาเป็นผลพลอยได้

ที่มีคนมาถามผมก็คือแบบแรกมันทำให้ได้แบบที่สองรึเปล่า ซึ่งอันนี้ผมยังตอบไม่ได้ครับ