ข้อสอบสิรินธรม.ปลายครั้งที่ 9 (8/1/2555)

[Ne[S]zA]

ไม่มีเครื่องแสกนนะครับ ขอข้อนี้ก่อนละกัน
ตอนที่ 2 ข้อที่ 15
กำหนดให้
$$f_n(x)=\dfrac{\sin (2n+1)x+\sin (2n+3)x+\sin (2n+5)x+\sin (2n+7)x}{\cos (2n+1)x+\cos (2n+3)x+\cos (2n+5)x+\cos (2n+7)x}$$
และ $g_n(x)=\dfrac{d}{dx} f_n(x)$ และ $A_n=\dfrac{1}{g_n(\pi )}$
จงหาค่าของ
$$\sum_{n = 0}^{2012} A_n A_{n+1}$$

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ไม่มีเครื่องแสกนนะครับ ขอข้อนี้ก่อนละกัน
ตอนที่ 2 ข้อที่ 15
กำหนดให้
$$f_n(x)=\dfrac{\sin (2n+1)x+\sin (2n+3)x+\sin (2n+5)x+\sin (2n+7)x}{\cos (2n+1)x+\cos (2n+3)x+\cos (2n+5)x+\cos (2n+7)x}$$
และ $g_n(x)=\dfrac{d}{dx} f_n(x)$ และ $A_n=\dfrac{1}{g_n(\pi )}$
จงหาค่าของ
$$\sum_{n = 0}^{2012} A_n A_{n+1}$$

ข้อนี้ตอบ $\frac{2013}{16120}$ ครับ แต่ว่าผมทำผิด

ปีนี้ข้อสอบไม่ยากมากนะครับ แต่ว่าสะเพร่าเยอะ T_T

เพิ่มให้อีกข้อครับ

ข้อ 6 ตอนที่ 2

ให้ $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ที่สอดคล้องกับ

$$f(2011x-f(0))=2011x^2$$

แล้วค่าของ $f(2011)$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่ากับเท่าใดบ้าง?

[Ne[S]zA]

น่าจะถูกแล้วล่ะ แต่ผมคิดเลขผิดเอง แต่ เศษได้ 2013 เหมือนกัน

[Ne[S]zA]

ให้ $a,b,c$ เป็นรากของสมการ $x^2-\dfrac{1}{x}=2012$ จงหาค่าของ $\dfrac{a^2-b^2-c^2}{a^2+b^4c+c^4b}$

[MiNd169]

ตอบ 2/3 ครับ หาความสัมพันธ์ของรากไปเรื่อย

ปล มันเปลี่ยนยูนิเวอร์สบ่อยจัง จำนวนเต็มบวกบ้าง จำนวนเต็มบ้าง ผมโดนไปหลายข้อละที่สุดท้ายตอบเกิน T-T

[Ne[S]zA]

ใครมีเครื่องแสกนช่วยลงหน่อยนะครับ
ข้อนี้ผมบวกเลขผิด TT
จงหาจำนวนเต็ม $n$ ที่สอดคล้องกับสมการ
$$(n^2-4n+3)^{n^2+43}=(n^2-4n+3)^{20n-21}$$

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ข้อ 6 ตอนที่ 2

ให้ $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ที่สอดคล้องกับ

$$f(2011x-f(0))=2011x^2$$

แล้วค่าของ $f(2011)$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่ากับเท่าใดบ้าง?

$f(2011)=2011,8044$
ผมตอบไปแค่ $2011$ ลืมอีกกรณี TT

['' ALGEBRA '']

ผมเสียดายมากๆๆที่ไม่ได้สอบเพราะติดสอบ 7 วิชา
ข้อสอบปีนี้ที่ คุณNe[S]zA โพสต์ไว้ ดันเป็นเรื่องที่ผมชอบมากๆส่ะด้วยสิ
เสียดายจิงๆๆ
ใครแสกนได้ช่วยหน่อยนะครับ ขอบคุณมากๆครับ

[~ArT_Ty~]

ข้อ 14 เติมคำ

เซตของจำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับอสมการ

$$|x^4-6x^2+8|\geqslant |x^4-6x^2+10|$$

คือเซตใด

['' ALGEBRA '']

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ข้อ 14 เติมคำ

เซตของจำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับอสมการ

$$|x^4-6x^2+8|\geqslant |x^4-6x^2+10|$$

คือเซตใด

ตอบ $ \left[-\sqrt{3},\sqrt{3} \right] $ รึป่าวคับ??

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ '' ALGEBRA ''

ตอบ $ \left[-\sqrt{3},\sqrt{3} \right] $ รึป่าวคับ??

ตอบ $\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\}$ อ่ะครับ ไม่ใช่ช่วงปิดนะ

['' ALGEBRA '']

#11 จิงด้วยแฮะ ผมลืมเช็คไปหน่อย

ขอตรีโกณ หรือไม่ก้อพีชคณิตสวยๆอีกสักข้อ 2ข้อก่อนนอนได้ป่ะคับคุณเนส เหอะๆๆ เด๋วนอนไม่หลับ
ถ้าไม่ว่างก้อไม่เป็นไรนะคับ เอาไว้วันหลังก้อได้

[Ne[S]zA]

โทดทีครับ พอดี ข้อสอบให้อาจารย์ไปอิอิ ต้องให้คนอื่น ลงให้นะครับ อิอิ

['' ALGEBRA '']

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

โทดทีครับ พอดี ข้อสอบให้อาจารย์ไปอิอิ ต้องให้คนอื่น ลงให้นะครับ อิอิ

อ่อ ไม่เป็นไรคับ ขอบคุณมาก

[Metamorphosis]

#11
ผมแทน $x=0$ เข้าไป ทำไมไม่จริงอะครับ ตอบ เซตว่าง รึเปล่าครับ

------------------------------------------------------------------------------------


ให้ $a,b,c$ เป็นรากของสมการ $x^2-\dfrac{1}{x}=2012$ จงหาค่าของ $\dfrac{a^2-b^2-c^2}{a^2+b^4c+c^4b}$

ข้อนี้ดูเหมือนจะสลับซับซ้อน ถ้าทำจริงๆก็ไม่ยาก

จัดรูปก่อน $x^3-1 = 2012x , x^3-2012x-1=0$
เนื่องจาก $a,b,c$ เป็นรากของสมการ จะได้ $a+b+c = 0 , ab+bc+ca = -2012 , abc=1$

พิจารณา $a^2+b^4c+c^4b = a^2+bc(b^3+c^3) $
เนื่องจากถ้า $a+b+c = 0 $ แล้ว $a^3+b^3+c^3 = 3abc = 3 $ จะได้ $b^3+c^3 = 3-a^3$
จะได้ $a^2+bc(b^3+c^3) = a^2+bc(3-a^3) = a^2-a^3bc + 3bc = a^2-a^2+3bc = 3bc$

พิจารณาเศษคือ $a^2-b^2-c^2 = (a-b)(a+b) -c^2 = -c(a-b)-c^2 = c(-a+b-c) = c(-(a+c)+b) = c(2b) = 2bc$

เพราะฉะนั้น $\dfrac{a^2-b^2-c^2}{a^2+b^4c+c^4b} = \dfrac{2bc}{3bc}=\dfrac{2}{3} $