Marathon - Primary # 2

[สอนผมทีงับ]

อ่อ ขอขอบคุณล่วงหน้านะครับ ปล. ขอโทดนะครับผมใช้ latex ยังไม่เป็นครับ หา ยกกำลังไม่เจอ --

[kimchiman]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ scylla_shadow

จงหาเศษเหลือจากการหาร $1^4+2^4+3^4+4^4+...+2010^4$ ด้วย 100

\[1^4+2^4+...+n^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} \]
ดังนั้น \[1^4+2^4+3^4+4^4+...+2010^4=\frac{(2010)(2011)(4021)(3\times2010^2+3\times2010-1)}{30}\]
67$\equiv$ 67(mod100)
2011$\equiv $ 11(mod100)
4021$\equiv $ 21(mod100)
$3\times2010^2+3\times2010-1\equiv 29(mod100)$
จับคูณกัน
$1^4+2^4+3^4+4^4+...+2010^4 \equiv 67\times11\times21\times29 \equiv 33(mod100) $
ก็ได้เศษ 33 ครับ

สำหรับข้อต่อไปขอเรขานะครับ
3. สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC มีจุด A เป็นจุดยอด $\hat{BAC}=20^o$ กำหนดจุด D บนด้าน BA ที่ทำให้ BC=AD จงหาขนาดของ $\hat{ACD}$

[สอนผมทีงับ]

ผม ขอ ตอบ 35 องศา ง๊าบ T^T ผิดยังไงบอกด้วยนะ ง๊าบ อยากทราบวิธีทำ

[kimchiman]

ผิดครับ มากไปหน่อย

[สอนผมทีงับ]

ขอบคุณครับ ^^

[Siren-Of-Step]

$20$ องศา

[สอนผมทีงับ]

คิด ยัง ไงหยองับ

สู้ ต่อไปนะครับ~~

[Siren-Of-Step]

ให้ $n=\underbrace{333......333}_{100 ตัว} $ และ $N=\underbrace{444......444}_{k ตัว}$
จงหา $k$ ที่น้อยที่สุดที่ทำ $n\mid N$

[kimchiman]

ขอโทษนะครับ
คำตอบของคุณ Siren-Of-Step 20 องศา ตอบผิดครับ
งั้นผงเฉลย 10 องศาครับ แต่วิธีคิด ผมขอวิธีวาดรูปในความคิดเห็นได้มั๊ยครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kimchiman

ขอโทษนะครับ
คำตอบของคุณ Siren-Of-Step 20 องศา ตอบผิดครับ
งั้นผงเฉลย 10 องศาครับ แต่วิธีคิด ผมขอวิธีวาดรูปในความคิดเห็นได้มั๊ยครับ

เอ่อข้อนี้ขอก่อนได้ไหมครับ
มันคล้ายกับในคอนเทสม.ต้นข้อ 11 พอดี
แค่กลับกันนิดเดียว (นิดเดียวจริงๆ) ถ้าเฉลยอาจจะ.....

[kimchiman]

ผมไม่รู้วิธีวาดรูป ผมใช้เขียนแล้วกันครับ
วาดสามเหลี่ยม ADE ออกไปทางจุด C ให้สามเหลี่ยม ADE เท่ากันทุกประการกับสามเหลี่ยม ABC ลาก CE แล้วก็ไล่มุมไล่ด้านเองครับ

[คusักคณิm]

ว้าว เกมนี้ไปได้ดีครับ มีพี่ปลาช่อนกับพี่ฟ้าคอยช่วย คงราบรื่นนะครับ
เพราะพักนี้ผมก็ไม่ค่อยว่างด้วย ^_^

[JSompis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ให้ $n=\underbrace{333......333}_{100 ตัว} $ และ $N=\underbrace{444......444}_{k ตัว}$
จงหา $k$ ที่น้อยที่สุดที่ทำ $n\mid N$

จากการสังเกตุ

$3\mid{444}$
$33\mid{444,444}$
$333\mid{444,444,444}$
.
..
...
$\underbrace{333......333}_{100} \mid {\underbrace{444......444}_{300}}$
$\therefore k = 300$ จะทำให้ $n\mid{N}$

สละสิทธิ์ตั้งโจทย์

[kimchiman]

งั้นผมขอข้อต่อไปแล้วกัน
5. กําหนดระบบสมการ
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}=6$
และ $\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{d}+\frac{d}{b}=8$
แล้ว $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=?$

[JSompis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kimchiman

งั้นผมขอข้อต่อไปแล้วกัน
5. กําหนดระบบสมการ
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}=6$
และ $\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{d}+\frac{d}{b}=8$
แล้ว $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=?$

คล้ายกับข้อนี้

ให้a>b>c>d>0 เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c} +\frac{c}{d} +\frac{d}{a} =\frac{13}{2}$ และ $\frac{a}{c}+\frac{c}{a} +\frac{b}{d} +\frac{d}{b} =9$ จงหา $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$

$A=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$
$B=\frac{b}{c}+\frac{d}{a}$

$A+B=6$...(1)
$AB=8$...(2)

$A(6-A)=8$
$A^2-6A+8=0$
$A=2,4$

เนื่องจากโจทย์ไม่บอกเงื่อนไขอื่นๆ เลยไม่รู้ว่าใช้ได้ทั้งสองตัวหรือเปล่า?
แต่ถ้ามีเงื่อนไข $a>b>c>d>0$ ก็ตอบ $4$

สละสิทธิ์ตั้งโจทย์