โจทย์เลขยกกำลังที่น่าสนใจ

[banker]

กำหนด $m > n \ $ โดยที่ $ \ m^{m - n} = n^{27} \ $ และ $ \ n^{m - n} = m^3 $

จงหาค่าของ $n^4 - mn^3 - mn + m^2$

$ 1. \ \ 81$

$ 2. \ \ 27$

$ 3. \ \ 0$

$ 4. \ \ - 3$

ผมไม่ได้สงสัยอะไร เอาโจทย์มาให้เด็ก ม.ต้นฝึกทำเฉยๆ

ref : http://www.kukkai.org/problems/view/1317

[banker]

มา

hint

ในห้องสอบ ถ้าทำไม่ได้ก็ต้องเดา กาเดาๆ โอกาสถูกเท่ากับ $\frac{1}{4}$
แต่ถ้าสังเกต m > n แปลว่าไม่เท่ากัน มี บวกๆลบๆ ตรงค่าที่ให้หา ก็สันนิษฐานว่า มันต้องตัดๆกันไปหมด
ถ้า กาข้อเท่ากับ 0 โอกาสถูกมากกว่าครึ่ง

ให้

[Puriwatt]

จาก $m^{(m−n)}=n^{27}$ จะได้ $m = n^\frac{27}{(m-n)}$ ---- (1)
และจาก $n^{(m−n)}=m^3$จะได้ $m = n^\frac{(m-n)}{3}$ ---- (2)

สมการ (1) = (2) = m เราเทียบเลขชี้กำลังได้ $\frac{27}{(m-n)} = \frac{(m-n)}{3}$
---> $(m-n)^2$ = 81 ---> (m-n) = 9 {เพราะ m > n}

แทนค่า(m-n) = 9 ลงในสมการ(2) ได้ $m = n^\frac{(9)}{3} = n^3 $

$n^4−mn^3−mn+m^2 = nn^3-mn^3-mn+m^2 = nm-m^2-mn+m^2 = 0$