|
|
#1
24 เมษายน 2001, 08:40
|
|||
|
|||
โจทย์ข้อที่สี่
ปัญหาข้อ 4 นี้เป็นตัววัดความเข้าใจวิชา Calculus ปี 1 ได้อย่างถึงกึ๋นจริงๆ (ผมว่านะ)
ลองพิจารณาการพิสูจน์ว่า lim x->0 (sin x)/x = 1 ข้างล่างนี้ เนื่องจากลิมิตอยู่ในรูปแบบ indeterminate form 0/0 ดังนั้นเราจึงสามารถใช้ L'Hospital's rule ได้ดังนี้ lim x->0 (sin x)/x = lim x->0 (cos x)/1 = cos 0 = 1 จริงอยู่แม้ว่าคำตอบที่ออกมาจะถูกต้อง แต่การพิสูจน์ดังกล่าวมันใช้ไม่ได้ อยากทราบว่าทำไม? หมายเหตุ ผมเคยลงปัญหาข้อนี้ไว้ที่อื่นมาครั้งหนึ่งแล้ว แต่เชื่อว่าคนส่วนใหญ่ที่นี่คงยังไม่เคยเห็นนะครับ 
|
|
#2
16 พฤษภาคม 2001, 03:38
|
|||
|
|||
ในเมื่อไม่มีใครยอมตอบก็จะใบ้ล่ะนะ คำใบ้คือ ให้ลองพิจารณา
การพิสูจน์หาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน sin ดูอย่างละเอียดสิครับ
|
|
#3
16 พฤษภาคม 2001, 15:58
|
||||
|
||||
ผมก็งงอยู่นานว่ามันผิดตรงไหน อ๋อหมายถึงการพิสูจน์มันใช้ไม่ได้นั่นเอง(มันเกิดปัญหางูกินหาง อย่างนั้นรึเปล่า
 ) แต่ไม่ได้หมายความว่าการใช้ L'Hospital's rule เพื่อหาค่าลิมิต(ไม่ได้ใช้พิสูจน์)ของข้อนี้แล้วได้คำตอบที่ถูกต้องเป็นเรื่องของการบังเอิญใช่ไหม
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson.
|
|
#4
16 พฤษภาคม 2001, 20:10
|
|||
|
|||
ถูกต้องแล้วครับ มีอยู่ครั้งหนึ่งนานมาแล้วผมเจอบทความภาษาไทยทางคณิตศาสตร์พิสูจน์ให้เห็นว่าอนุพันธ์ของ
sin x คือ cos x โดยใช้ Taylor's series (หรืออะไร ทำนองนี้แหละ) เล่นเอาผมอึ้งไปเลย โจทย์ข้อนี้ผมเคยส่งไปลงใน Journal of Recreational Mathematics มีคนตอบได้เยอะเลย หลังจากนั้นไม่นานก็ เห็นคนเอาโจทย์นี้มาถามเล่นกันใน sci.math Usenet newsgroup ไม่รู้เอามาจากใน Journal รึเปล่า อิอิอิ
|
|
#6
17 พฤษภาคม 2001, 01:34
|
|||
|
|||
คือในการพิสูจน์ที่ผมแสดงไว้ข้างต้นว่า lim x->0 (sin x)/x = 1
เนี่ยมันจำเป็นต้องใช้ความรู้ว่าอนุพันธ์ของ sin x คือ cos x ใช่มั้ยครับ แล้วเราจะแสดงว่าอนุพันธ์ของ sin x คือ cos x ได้อย่างไรล่ะ เราก็ต้องพิสูจน์ตามนิยามของอนุพันธ์ว่า lim h->0 (sin(x+h) - sin x)/h = cos x ซึ่งลิมิตอันนี้เนี่ย เราจะแก้ออกได้ก็ต้องรู้ว่า lim h->0 (sin h)/h = 1 ซึ่งปกติ การแสดงว่า lim h->0 (sin h)/h = 1 เนี่ยเค้าจะใช้ geometry เข้าช่วยครับ (หาอ่านได้ตามหนังสือที่สอน ทฤษฎีทาง Calculus ทั่วๆไป) สรุปว่าที่ผิดก็เพราะความรู้ว่า lim x->0 (sin x)/x = 1 ต้อง มาก่อนความรู้ว่าอนุพันธ์ของ sin x คือ cos x ครับผม หวัง ว่าคงจะช่วยให้เข้าใจขึ้นนะครับ ต่อไปคือการพิสูจน์ว่าอนุพันธ์ของ sin x คือ cos x โดยใช้ Taylor's series ลองหาที่ผิดดูนะครับ จากความรู้ที่ว่า sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ... และ cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ... เราจะได้ว่า d(sin x)/dx = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ... = cos x
|
|
#8
19 พฤษภาคม 2001, 05:14
|
|||
|
|||
|
ที่ผิดก็คือในการหาส.ป.ส.ของอนุกรม Taylor ของ sin x
นั้นเราจำเป็นต้องรู้ว่าอนุพันธ์ของ sin x คืออะไรอยู่แล้วน่ะ ครับ การนำเอาอนุกรม Taylor มาใช้เพื่อแสดงวิธีหาอนุพันธ์ ของ sin x จึงเป็นเรื่องที่ไม่ถูกต้องในทำนองเดียวกับโจทย์ลิมิต ข้างบนนั่นแหละครับ คงไม่ได้ผิดในลักษณะเดียวกับการ พิสูจน์ของคุณ Rudolph หรอกนะครับ
|
|
#9
20 พฤษภาคม 2001, 12:17
|
|||
|
|||
ขอบคุณคุณ warut ที่ขึ้ให้เห็นจุดนี้
แต่น่าจะบอกว่า วิธีการหาค่าโดยใช้กฎของ L'hopital ไม่ได้ผิดอะไร เพียงแต่ไม่ใช่เป็นการพิสูจน์ให้เห็นว่า lim(x->0) sinx/x = 1 หวังว่าคุณ warut คงเข้าใจว่าจะสื่ออะไร เพราะกังวลว่าเด็กๆ มาอ่านแล้วจะไปบอกคนอื่นๆ ต่อว่า L'hopital มีที่ผิดอยู่หรืออะไรทำนองนั้น แล้วจะไปกันใหญ่
|
  |
|
|
