เชิงซ้อนช่วยที

[powerboom]

กําหนดให้ ${x}_{1}$ ${x}_{2}$ ${x}_{3}$ ${x}_{4}$ เป๊นคําตอบของสมการ
x^4 - 7x^3 +14x^2 -7x +1 = 0
$\sqrt{(({x}_{1})^4+1)(({x}_{2})^4+1)(({x}_{3})^4+1)(({x}_{4})^4+1)}$
รูทยาวถึงตัวท้ายนะ มีค่าเท่าใด

[กิตติ]

กําหนดให้ $x_1,x_2,x_3,x_4$ เป็นคําตอบของสมการ

$x^4 - 7x^3 +14x^2 -7x +1 = 0$

$\sqrt{(x_1^4+1)(x_2^4+1)(x_3^4+1)(x_4^4+1)} $

โจทย์น่าจะเป็นอย่างนี้หรือเปล่าครับ

ลองดูจากตรงนี้ครับ
$x^4+1=7x^3-14x^2+7x=7x(x-1)^2$

$\sqrt{(x_1^4+1)(x_2^4+1)(x_3^4+1)(x_4^4+1)} $
$=\sqrt{(7^4)(x_1x_2x_3x_4)(x_1-1)^2(x_2-1)^2(x_3-1)^2(x_4-1)^2} $

$=49\sqrt{x_1x_2x_3x_4}\left|\,(x_1-1)\right| \left|\,(x_2-1)\right| \left|\,x_3-1\right| \left|\,x_4-1\right| $

$x_1x_2x_3x_4=1$
$\left|\,(x_1-1)\right| \left|\,(x_2-1)\right| \left|\,x_3-1\right| \left|\,x_4-1\right|$
$=\left|\,(x_1-1)(x_2-1)(x_3-1)(x_4-1)\right| $
$=\left|\,(x_1x_2+x_3x_4+x_1+x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4)-(x_1x_2x_3+x_2x_3x_4+x_1x_3x_4+x_1x_2x_4)-(x_1+x_2+x_3+x_4)+x_1x_2x_3x_4+1\right| $
เรารู้ทุกค่าโดยดูจากสมการที่กำหนด
$x_1+x_2+x_3+x_4=7$
$x_1x_2+x_3x_4+x_1+x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4=14$
$x_1x_2x_3+x_2x_3x_4+x_1x_3x_4+x_1x_2x_4=7$

จะได้ว่า $=\left|\,14-7-7+1+1\right| =2 $

$\sqrt{(x_1^4+1)(x_2^4+1)(x_3^4+1)(x_4^4+1)} $
$=49\times 2=98$.......ไม่มีใครท้วงว่าคูณผิดจาก $49\times 2=58$.....ดีนะเห็นเองก่อน

ไม่จำเป็นต้องแก้สมการหาจำนวนเชิงซ้อนทีละค่าก็ได้ครับ ถ้าต้องการแก้เดี๋ยวทำให้ดูก็ได้ครับ
แต่ต้องรู้เรื่องความสัมพันธ์ของรากสมการกับสัมประสิทธิ์ของแต่พจน์ในสมการครับ

[Euler-Fermat]

ข้อนี้ ถึกมากครับ เหนื่อยผมทำแบบคุณกิตติอ่ะครับ
ใครมีวิธีอื่นเสนอ ได้บ้างครับ

[กิตติ]

ลองทำให้ดูวิธีแก้สมการ สมการที่โจทย์กำหนดให้นั้นเป็นสมการสมมาตรลองดูสัมประสิทธิ์ที่เรียงจากพจน์แรกมาถึงพจน์หลัง คือ
1 -7 14 -7 1.....โดยมีเลข 14 เป็นแกน ลองหาอ่านเรื่องสมการพหุนามแบบสมมาตร
ถ้าเห็นแบบนี้ปุ๊ป เราเอาพจน์ $x$ ที่อยู่ตรงกลางหารทั้งสมการ แต่ $x\not= 0$
$x^4 - 7x^3 +14x^2 -7x +1 = 0$
$x^2-7x+14-\frac{7}{x}+\frac{1}{x^2}=0 $
จัดพจน์
$\left(\,x^2+\frac{1}{x^2}+2\right)-7\left(\,x+\frac{1}{x}\right)+12=0 $
ให้ $x+\frac{1}{x}=A$
$A^2-7A+12=0$
$(A-4)(A-3)=0$
$A=3,4$

จะได้ว่า $x^2-4x+1=0$ กับ $x^2-3x+1=0$
แก้สมการได้ $x=2\pm \sqrt{3},\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{5} }{2} $
เอาไปยกกำลังสี่แต่ละพจน์จนหา $x^4+1$ ให้ครบทั้ง4จำนวน.....ใครว่าวิธีแรกถึกแล้ว วิธีที่หาจากคำตอบโดยตรงไม่ยิ่งโค-ตรถึกเหรอครับ ๕๕๕๕๕.....ใครอยากพิสูจน์ว่าคำตอบตรงกันก็เชิญได้เลยครับ สำหรับผม ผมคิดว่าผมโอเคกับวิธีคิดวิธีแรกแล้วครับ

[powerboom]

แก้ธรรมดาได้ด้วยหรอ-0-

[Onasdi]

เพิ่มเติมวิธีแรกของคุณกิตติครับ
เราอยากหาค่าของ $(x_1-1)(x_2-1)(x_3-1)(x_4-1)$
สังเกตว่า $x^4 - 7x^3 +14x^2 -7x +1 =(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$
แทน x ด้วย 1 ครับ ได้ $1-7+14-7+1=(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)(1-x_4)$
ดังนั้น $(x_1-1)(x_2-1)(x_3-1)(x_4-1)=(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)(1-x_4)=2$

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

$=\sqrt{(7^4)(x_1x_2x_3x_4)(x_1-1)^2(x_2-1)^2(x_3-1)^2(x_4-1)^2} $

$=49\sqrt{x_1x_2x_3x_4}\left|\,(x_1-1)\right| \left|\,(x_2-1)\right| \left|\,x_3-1\right| \left|\,x_4-1\right| $

ข้อนี้คุ้น ๆ กระทู้เก่า คุณหมอเคยตอบไว้

และผมเคยบอกคุณหมอในกระทู้นั้นว่า $\sqrt{Z^2} \not= \left|Z\right| $ คุณหมอคงลืม

ดังนั้นทำต่อ โดยเปลี่ยนเป็นค่าสัมบูรณ์ ไม่ได้ครับ

[กิตติ]

นั่นนะสิ มันเลยคุ้นๆ ถ้าอย่างนั้นก็แก้เสียว่า $(x_1-1)(x_2-1)(x_3-1)(x_4-1)=2$
ดังนั้น $(x_1-1)^2(x_2-1)^2(x_3-1)^2(x_4-1)^2=4$
จะได้ว่า $\sqrt{(x_1-1)^2(x_2-1)^2(x_3-1)^2(x_4-1)^2}=2 $
อย่างนี้คงมิเป็นไร นะครับพี่เล็ก
ขอบคุณคุณOnasdi ผมหลงลืมวิธีเช่นนี้ได้เสียกระไร
กำลังดูขุนศึกเลยติดสำนวนมา คงมิว่ากระไรดอกนะท่าน

[กิตติ]

$x^2-4x+1=0$ กับ $x^2-3x+1=0$
กำหนดให้ $x_1,x_2$ เป็นรากจากสมการ $x^2-4x+1=0$ และ
$x_3,x_4$ เป็นรากจากสมการ $x^2-3x+1=0$
$x^2+1=4x \rightarrow (x^2+1)^2=16x^2$
$x^4+2x^2+1=16x^2 \rightarrow x^4+1=14x^2$
ดังนั้นเราจะได้ว่า $x_1^4+1=14x_1^2$ และ $x_2^4+1=14x_2^2$
$x^2-3x+1=0 \rightarrow x^4+1=7x^2$
ดังนั้นเราจะได้ว่า $x_3^4+1=7x_3^2$ และ $x_4^4+1=7x_4^2$
$\sqrt{(x_1^4+1)(x_2^4+1)(x_3^4+1)(x_4^4+1)} $
$=\sqrt{14^27^2(x_1x_2x_3x_4)^2} $
$x_1x_2x_3x_4=1$
$=\sqrt{14^27^2} $
$=98$
อีกวิธีหนึ่งที่หลบจากความถึกต่อยอดจากที่ทำค้างไว้โดยไม่ต้องหากำลังสี่ของจำนวนเชิงซ้อนของทั้งสี่จำนวน

[Onasdi]

โอ้ สุดยอดครับ

[lek2554]

คุณหมอหลบถึกจนได้

เป็นการสอนให้น้อง ๆ รู้ว่า "ความพยายามอยู่ที่ไหน ความพยายามอยู่ที่นั่น"

และเป็นการเสริมคำพูดของท่าน nooonuii

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

คำตอบของปัญหาไม่ได้สำคัญที่สุด แต่การได้นั่งขบคิดถึงปัญหา

เป็นเวลานานมากพอต่างหากที่สำคัญกว่าและทำำให้เราพัฒนาขึ้น

[poper]

สุดยอดเลยครับคุณหมอกิตติ ขอจำไว้ใช้บ้างนะครับ