เตรียมสอบการเเข่งต่างๆ ของ ม.ปลาย

[จูกัดเหลียง]

ผมก็ตั้งไปเรื่อยไปเปื่อยเเหละครับ
1.Find max $i\in \mathbb{I},\forall n\ge 2$ if $$n-\sum_{k=2}^n\frac{k}{\sqrt{k^2-1}}\ge \frac{i}{10}$$
2.Find $\lim_{n\rightarrow\infty } \dfrac{b_n}{a_n}$ if
$$a_n=1+\sum_{k=2}^n \frac{1}{\sqrt{k}},b_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2k+1}}$$
Credit page โตได(เลข) {Todai nyu ken yori muzukashii}

[Form]

ข้อ 1 รู้สึกเหมือนเคยทำโจทย์ต้องเป็น $ \leqslant $ หรือเปล่าครับ ?
ถ้าไม่ใช่ขออภัย

[Form]

ขอโทษด้วยครับ ลืมดูที่แก้โจทย์ TT 555+

[powerboom]

ทำไม่ได้เฉลยที

[artty60]

ข้อ1. มองๆแล้วตอบ $i_{max}=8$

[artty60]

ข้อ2.ตอบติดค่า$H_n$!

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

2.Find $\lim_{n\rightarrow\infty } \dfrac{b_n}{a_n}$ if
$$a_n=1+\sum_{k=2}^n \frac{1}{\sqrt{k}},b_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2k+1}}$$

รบกวนช่วยตรวจหน่อยครับผมไม่เเน่ใจเลย

Hide

ให้ $$c_n=\sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{1}{\sqrt{n+k}}$$

การเเสดงที่มั่วมาก = =

ซึ่ง(ตรงนี้เเหละครับที่ไม่เเน่ใจ) $c_n$ มีค่าลดลงเรื่อยๆเมื่อ $n$ มากขึ้น
พิจารณาว่าถ้า $\dfrac{1}{\sqrt{n+k}}< \dfrac{1}{n+1}\leftrightarrow n^2+n+1<k$ ทำให้ได้ว่า $n^2+n+1<n+1\leftrightarrow n^2<0$ ซึ่งขัดเเย้งดังนั้น $\dfrac{1}{\sqrt{n+k}}\ge\dfrac{1}{n+1}$ $$\sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{1}{\sqrt{n+k}}\ge \underbrace{\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+1}+...+\dfrac{1}{n+1}}_{n+1 elements} =1$$
จึงพบว่า $c_n\ge 1$ ทุกจำนวนนับ $n$ทำให้ $\lim_{n\rightarrow \infty}c_n=1$

ทำไปทำมาได้ว่า $a_n\Big(1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Big)+c_n=b_n+1\rightarrow 0=\lim_{n\rightarrow\infty} \dfrac{c_n-1}{a_n}=\lim_{n\rightarrow\infty} \dfrac{b_n}{a_n}-\Big(1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Big)$
ดังนั้น $\lim_{n\rightarrow\infty} \dfrac{b_n}{a_n}=1-1/\sqrt 2$

[Thgx0312555]

$c_n$ ติด sigma ครับ
จึงไม่เป็นฟังก์ชันลดครับ

ข้อสองนะครับ
$\displaystyle a_n = \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n}}$
$\displaystyle b_n = \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}$

จาก(ลองกระจายตามนี้ดู เห็นได้ชัดว่าจริง)
$\dfrac{a_n}{\sqrt{2}} \geqslant b_n$
$\dfrac{a_n-1}{\sqrt{2}} \leqslant b_n$

$\sqrt{2} \leqslant \dfrac{a_n}{b_n} \leqslant \sqrt{2}+\dfrac{1}{b_n}$

จาก $S_n=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}$ เป็นอนุกรม divergent

ดังนั้น $a_n$ เป็นอนุกรม divergent (เทียบแต่ละพจน์)

ซึ่งจาก $\dfrac{a_n-1}{\sqrt{2}} \leqslant b_n$

$\therefore b_n$ diverges

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt{2} \leqslant \lim_{n \to \infty}\dfrac{a_n}{b_n} \leqslant \lim_{n \to \infty}(\sqrt{2}+\dfrac{1}{b_n})$

$\lim_{n \to \infty}\dfrac{a_n}{b_n} =\sqrt{2}$

$\therefore \lim_{n \to \infty}\dfrac{b_n}{a_n} =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

[จูกัดเหลียง]

คือผมหมายถึงว่า ถ้า $n$ มากขึ้น $c_n$ จะน้อยลงเรื่อยๆจนเข้าใกล้ $1$ อ่ะครับ
หรือผมเข้าใจผิดอะไรไป

[Thgx0312555]

$c_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx 0.7+0.57$
$c_2=\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}}\approx 0.57+0.5+0.44$

[จูกัดเหลียง]

อ่อครับ 5555
ปล. divergent คือไรอ่ะครับ

[~ArT_Ty~]

อนุกรมที่ลู่เข้าสู่ค่าใดค่าหนึ่งครับ

[polsk133]

divergent มันลู่ออกไม่ใช่หรอครับ

[~ArT_Ty~]

เออ จริงด้วย สลับกัน 555+

[จูกัดเหลียง]

ในกรณีนี้ $c_n$ เป็นอนุกรม divergent เพราะมันลู่ออกจาก $1$ สินะครับ