อนุกรมครับ

[Suwiwat B]

จงเขียนอนุกรม $\sum_{k = 0}^{n} \frac{(-1)^k \binom{n}{k} }{k^3 +9k^2+26k+24}$ ในรูปของ $\frac{p(n)}{q(n)}$ โดยที่ $p(n)$ เเละ $q(n)$ เป็นพหุนามสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

จงเขียนอนุกรม $\sum_{k = 0}^{n} \frac{(-1)^k \binom{n}{k} }{k^3 +9k^2+26k+24}$ ในรูปของ $\frac{p(n)}{q(n)}$ โดยที่ $p(n)$ เเละ $q(n)$ เป็นพหุนามสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม

ตอบ $\dfrac{1}{2(n+3)(n+4)}$

ไม่แน่ใจว่าทำเป็นอนุกรมโทรทรรศน์จะได้มั้ย

ที่ผมคิดคือใช้เอกลักษณ์ $\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}=0$ ครับ

ขออธิบายคร่า่วๆนะครับ(ทดไปทั้งหมด 3 หน้ากระดาษ)

$\sum_{k = 0}^{n} \frac{(-1)^k \binom{n}{k} }{k^3 +9k^2+26k+24}=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}\sum_{k=0}^n(-1)^k(k+1)\binom{n+4}{k+4}$

$=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}\sum_{k=0}^n(-1)^k(k+4)\binom{n+4}{k+4}-3(-1)^k\binom{n+4}{k+4}$

$=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}\left[-(n+4)\sum_{i=3}^{n+3}(-1)^i\binom{n+3}{i}-3\sum_{i=4}^{n+4}(-1)^i\binom{n+4}{i}\right]$

$=\dfrac{1}{2(n+3)(n+4)}$

[Form]

สตั้นตรง อนุกรมโทรทรรศน์ ... 555+

[powerboom]

งงตรง3บรรทัดสุดท้ายแยก k+4 มาเป็น n+4 ได้ไงอะ

[nooonuii]

ต้องแตกสัมประสิทธิ์ทวินามออกมาครับ

$(k+4)\binom{n+4}{k+4}=\dfrac{(k+4)(n+4)(n+3)!}{(k+4)(k+3)!(n-k)!}=(n+4)\binom{n+3}{k+3}$

[Suwiwat B]

ขอบคุณมากครับ ... นั่งอึ้งเเละคิดนานมาก