ข้อสอบ AITMO 2011

[math ninja]

บุคคล http://files.chiuchang.org.tw:8080/M...Individual.pdf
ทีม http://files.chiuchang.org.tw:8080/M...011%20Team.pdf
ช่วยคิดที ยากมากกกกกกกกกกกกก

[jenwit]

ขอบคุณมากครับข้อสอบยากใช้ได้เลย

[mebius]

ข้อ 1.
กำหนดให้ $6!=a!xb!$เมื่อ $a>1,b>1$จงหาค่าของ $axb$
$6!=6x5x4x3x2x1=3x2x1x5x4x3x2x1=3!x5!$
$a=3,b=5,ab=15$

[mebius]

ข้อ 2.
ถ้า $3^{2011}+3^{2011}+3^{2011}+3^{2011}+3^{2011}+3^{2011}+3^{2011}+3^{2011}+3^{2011}=3x$
จงหาค่า $x$

$9(3^{2011})=3x$
$x=3^{2012}$

[Euler-Fermat]

ขอบคุณมากครับ

[กิตติ]

ข้อ 4 ลองเขียนพจน์ทั่วไปได้ว่า $a_n=(10^n+2)(10^n-2)=10^{2n}-4$
$S={10^2+10^4+..+10^{40}-80}=A+20$
$10^4+10^6+...+10^{40}=A$
$10^6+...+10^{42}=10^2A$
$A=\frac{10^{42}-10^4}{99} $
$A=10^2{10^{21}-10^2}$

เดี๋ยวมาคิดต่อแบตโน๊ตบุ๊ตจะหมดแล้ว

มาต่อจากเมื่อวาน...จริงๆดูตรง $10^4+10^6+...+10^{40}+20$
เขียนออกมาได้ว่าคือ $10101010101010101010101010101010101010020$
โจทย์ถามผลรวมของเลขในแต่ละหลัก ตอบ $21$

[banker]

ข้อสอบประเภทบุคคล

[banker]

[banker]

$2^{\color{red}{5}} + 7 ^{\color{red}{2}} = \color{red}{3}^4$

$xyz = 5 \times 2 \times 3 = 30$

[banker]

$\frac{3}{1!+2!+3!} + \frac{4}{2!+3!+4!} + \frac{5}{3!+4!+5!} + ... + \frac{8}{6!+7!+8!} $

$\frac{3}{1!(1+2+6)} + \frac{4}{2!(1+3+12)} + \frac{5}{3!(14+20)} + ...+ \frac{8}{6!(1+7+56)} $

$\frac{1}{3 \cdot 1!} + \frac{1}{4 \cdot 2!} + \frac{1}{5 \cdot 3!} + ... + \frac{1}{8 \cdot 6!}$

$\frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \frac{4}{5!} + ... + \frac{7}{8!} $

$\frac{3-1}{3!} + \frac{4-1}{4!} + \frac{5-1}{5!} + ... + \frac{8-1}{8!} $

$ (\frac{3}{3!} - \frac{1}{3!}) + (\frac{4}{4!} - \frac{1}{4!}) + (\frac{5}{5!} - \frac{1}{5!}) + ... + (\frac{8}{8!} - \frac{1}{8!}) $

$ (\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}) + (\frac{1}{3!} - \frac{1}{4!}) + (\frac{1}{4!} - \frac{1}{5!}) + ... + (\frac{1}{7!} - \frac{1}{8!}) $

$ \frac{1}{2!} - \frac{1}{8!} $

[banker]

ลากเส้นทแยงมุม EB จะได้ EB // FA

M เป็นจุดใดๆที่อยู่ห่าง B เท่ากับ 8 หน่วย ในที่นี้ให้ M อยู่บน EB ทำให้ BM = 8

จะได้ สามเหลี่ยม 6 รูป มีพื้นที่ดังรูป (ตามความยาวฐาน)

จะได้พื้นที่แรเงาที่โจทย์ให้หา เป็นครึ่งหนึ่งของหกเหลี่ยมด้านเท่า

ABM + CDM +EFM = $\frac{1}{2} (6 \times \frac{\sqrt{3} }{4} \times 10^2) = 75\sqrt{3} \ $ตารางหน่วย


ไม่ว่าจุด M จะอยู่ตรงไหนในหกเหลี่ยมด้านเท่า ถ้าลากเส้นจากจุด M มายังจุดทั้ง 6 พื้นที่แรเงาทั้งสามดังรูปที่โจทย์แสดง จะเป็นครึ่งหนึ่งของหกเหลี่ยมด้านเท่าเสมอ ?

[กิตติ]

ข้อ 6.จากจำนวน $n^2-n+1$ จนถึง $n^2+n+1$ มีจำนวนพจน์เท่ากับ $2n+1$
$n^2-n+1$ และ $n^2+n+1$ ต่างก็เป็นจำนวนคี่
จำนวนคู่จำนวนแรกคือ $n^2-n+2$ และจำนวนคู่ท้ายคือ $n^2+n$ จะมีจำนวนพจน์เท่ากับ $2n-1$
สูตรหาผลบวกของอนุกรมนี้คือ $\frac{(2n-1)(n^2+1)}{4} $
$10000<(2n-1)(n^2+1)<12000$
$n=18$

ขอแก้ตามที่คุณทิดมี สึกใหม่ว่า...จำนวนคู่มีทั้งหมด $n$ จำนวน
สูตรหาผลบวกของอนุกรมนี้คือ $n(n^2+1) $
$2500<n(n^2+1)<3000$
$2500<(n^3+n)<3000$
ถ้า $n=10 \rightarrow n^3+n=1010$
ถ้า $n=13 \rightarrow n^3+n=2210$
ถ้า $n=14 \rightarrow n^3+n=2758$
ถ้า $n=15 \rightarrow n^3+n=3090$
$n=14$

[banker]

ED = 39+25 - 56 = 8

สามเหลี่ยม ABD เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มี BF แบ่งครึ่งมุม ABD จะได้ F เป็นจุดกึ่งกลางด้าน AD

ทำนองเดียวกัน จะได้ G เป็นจุดกึ่งกลางด้าน AE

GF จะขนาน ED และเป็นครึ่งหนึ่งของ ED

GF = 4 หน่วย

[ทิดมี สึกใหม่]

number of paths which start with a move to the right= $\frac{(จำนวนคอลัมน์ขวามือ+จำนวนแถวขวามือ)!}{จำนวนคอลัมน์ขวามือ!xจำนวนแถวขวามือ!}$

number of paths which start with a move up $\qquad$ = $\frac{(จำนวนแถวที่เคลื่อนขึ้น+จำนวนคอลัมน์ที่เคลื่อนขึ้น)!}{จำนวนแถวที่เคลื่อนขึ้น!xจำนวนคอลัมน์ที่เคลื่อนขึ้น!}$

number of paths which start with a move to the right= $\frac{(14+10)!}{14!x10!}$ = $\frac{24!}{14!x10!}$ ......(1)
number of paths which start with a move up $\qquad$ = $\frac{(9+15)!}{9!x15!}$ = $\frac{24!}{9!x15!}$ ............(2)
ตอบ ratio = $\frac{(1)}{(2)}$ = $\frac{24!x9!x15!}{24!x10!x14!}$ = $\frac{3}{2}$

[ทิดมี สึกใหม่]

จาก \(\overline{abc}\)=9x\(\overline{ac}\)+4xc
เขียนรูปแบบกระจายได้ =100\(\overline{a}\)+10\(\overline{b}\)+\(\overline{c}\)=90\(\overline{a}\)+9\(\overline{c}\)+4\(\overline{c}\)

$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ -> 100\(\overline{a}\)+10\(\overline{b}\)+\(\overline{c}\)=90\(\overline{a}\)+9\(\overline{c}\)+4\(\overline{c}\)
$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ -> 10\(\overline{(a+b)}\)=12\(\overline{c}\)

สังเกตุ เทอมขวามือต้องลงท้ายด้วย 0 เสมอ แสดงว่า c=5 เท่านั้น และ 12\(\overline{c}\)=60
ทำให้คู่อันดับ (a,b)={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)} เท่านั้น
ดังนั้น
$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ \(\overline{abc}\)=155 , 245 ,335 , 425 ,515 และ 605