ช่วยหน่อยครับ วงกลม

[กระบี่บูรพา]

วงกลมวงเล็กแนบในหนึ่งส่วนสี่ของวงกลมใหญ่รัศมี 1 หน่วย จงหารัศมีวงกลมวงเล็ก

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่บูรพา

วงกลมวงเล็กแนบในหนึ่งส่วนสี่ของวงกลมใหญ่รัศมี 1 หน่วย จงหารัศมีวงกลมวงเล็ก

คำถามแนวนี้ สิ่งจะต้องรู้เสมอก็คือ จุดศูนย์กลางวงกลมใหญ่ จุดศูนย์กลางวงกลมเล็ก และจุดที่วงกลมทั้งสองสัมผัสกัน จุดทั้งสามนี้ จะอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกันครับ นั่นก็คือโดยทั่วไปแล้วเราจะต้องลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมทั้งสามจุดเสมอ เพื่อใช้คำนวณ

และจากจุดศูนย์กลางวงกลมเล็ก ถ้าลากไปยังจุดสัมผัสทั้งสาม จะต้องตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเสมอ

solution

ให้ R แทนรัศมีวงกลมใหญ่, r แทนรัศมีวงกลมเล็ก

หลังจากลากเส้นตรงที่ผมว่าในตอนแรก แล้วเราจะได้ความสัมพันธ์ซึ่งเห็นจากรูปว่า

$R - r = \sqrt{2}r$

ดังนั้น $r = \frac{R}{\sqrt{2}+1}$

(Note. ค่าของ $\sqrt{2}r$ พีทาโกรัสของ r กับ r)

[lek2554]

มาช่วยคุณกรใส่รูปครับ

[กระบี่บูรพา]

ขอบคุณครับ

[gon]

รูปสวยมากครับคุณเล็ก ตรงใจที่ผมคิดทุกอย่าง

โจทย์ที่เกี่ยวข้องต่อเนื่องกัน ก็คือถ้าใส่ลงไปอีกวง

วงเล็กสุดนี้จะมีรัศมีเท่าไร ถ้าวงใหญ่สุดรัศมี 1 หน่วย เช่นเดิม

ถ้าสนใจลองคิดต่อดูได้ครับ.

answer

$\frac{5\sqrt{2}-1}{49}$

[กระบี่บูรพา]

ข้อหลังยังหาวิธีไม่ได้ครับ ท่านกร ช่วยหน่อยครับ

[lek2554]

มาช่วยคุณกรใส่รูปอีกทีครับ ไม่รู้ว่าจะตรงใจที่คุณกรคิดอีกหรือเปล่า

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

มาช่วยคุณกรใส่รูปอีกทีครับ ไม่รู้ว่าจะตรงใจที่คุณกรคิดอีกหรือเปล่า

ใกล้เคียงครับ แต่ผมจะไม่ใส่รายละเอียดมากครับ เดี๋ยวผมงง ไม่ค่อยจะถูกชะตากับเรขาเท่าไร

จากรูป ให้ $r$ แทน รัศมีวงกลมเล็กสุด , $R$ แทน รัศมีวงกลมที่สอง ซึ่งเท่ากับ $\sqrt{2}-1$ วงกลมใหญ่สุด รัศมี 1 หน่วย

solution2

จากรูปจะเห็นว่า $AB^2 = AE^2 + BE^2 ... (*)$

โดยที่

$AB = 1- r$

$AE = r$

$BE = BD + DE = \sqrt{(R+r)^2-(R-r)^2} + R$

ที่เหลือก็แทนค่าต่าง ๆ ลงในสมการ (*) แล้วแก้สมการครับ.

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ใกล้เคียงครับ แต่ผมจะไม่ใส่รายละเอียดมากครับ เดี๋ยวผมงง ไม่ค่อยจะถูกชะตากับเรขาเท่าไร

ต้องหาเลขาครับ

ต่อจากรูปที่ผมแสดง เวลาตั้งสมการผมอ้างว่า

$AL+LN=AN$

$\sqrt{(r+2\sqrt{rx})^2+x^2} +x=R$

แทนค่า $r=\sqrt{2}-1 , R=1$

คุณกระบี่บูรพาลองแก้สมการดูครับ

[กระบี่บูรพา]

เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณgon และคุณlek2554 ครับ เยี่ยมยอดครับ