Polygon

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ owlpenguin

ขอถามอะไรได้ไหมครับ
คือว่าไปเจอในหนังสือมาว่า เราสามารถสร้างเส้นตรงที่มีความยาว x ได้
โดยให้ใช้ straightedge กับ compass เท่านั้น ถ้ามันเป็นรากของสมการที่มีดีกรีไม่เกิน 2
(เช่น สามารถสร้างเส้นตรงยาว $\sqrt{2}$ ได้ แต่สร้างเส้นตรงที่มีความยาว $\sqrt[3]{2}$ ไม่ได้)
จะถามว่าวิธี proof ต้องใช้อะไรแสดงครับ

ใช้ทฤษฎีบทที่ว่า

If the element $\alpha\in\mathbb{R}$ is obtained from a field $\mathbb{F}\subset\mathbb{R}$ by

a series of compass and straightedge constructions then $[\mathbb{F}(\alpha):\mathbb{F}]=2^k$ for some $k\geq 0$

ที่เราสร้าง $\sqrt[3]{2}$ ไม่ได้ เพราะ $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]=3$ ครับ

ถ้าเป็นเรื่องนี้ใช้ความรู้ Field Theory ระดับ ป.ตรี ก็พอครับ

แต่ถ้าเป็นเรื่อง constructible regular $n$-gon

เราจะต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับ cyclotomic field

ซึ่งต้องอัด Galois Theory เต็มๆ ระดับป.ตรีจะสอนไม่ถึงครับ