โจทย์จำนวนเชิงซ้อนครับ++

[t.B.]

กำหนดให้ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่ง $|z-3-4i|\leq 1$ และ $k=\frac{Im(Z)}{Re(Z)}$ จงหาค่าkที่เป็นไปได้ ขอเป็นHintคำใบ้หรือคำแนะนำอะไรก็ได้นะครับ

[Sly]

ขั้นแรกให้คิดถึง r ของZกับค่าคงที่ที่อยู่ในabsก่อนครับ จากนั้ยเราจะรู้ว่า r ของZอยู่ในช่วงไหน จากนั้นเทียบค่ากับค่าคงมี่ ก็จะรู้ได้ครับว่าที่คุณถามคือช่วงไหน ใช้รูปแบบ Expo ง่ายสุดครับในตอนแรก

[t.B.]

ไม่ทราบว่าอย่างงี้ถูกรึเปล่าเอ่ย

ให้ z=a+bi
จากโจทย์จะได้

$(a-3)^2+(b-4)^2\leq 1$

จะได้ $2<a<4$ , $3<b<5$
จาก $k=\frac{b}{a}$ จะได้ $0.75<k<2.5$

[t.B.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

ไม่ทราบว่าอย่างงี้ถูกรึเปล่าเอ่ย

ให้ z=a+bi
จากโจทย์จะได้

$(a-3)^2+(b-4)^2\leq 1$

จะได้ $2<a<4$ , $3<b<5$
จาก $k=\frac{b}{a}$ จะได้ $0.75<k<2.5$

ผมคิดว่ามันผิดอะ แทน a=3.9,b=4.9 อสมการจะไม่เป็นจริง
จะตอบยังไงดีช่วยชี้แนะด้วยครับ

[Sly]

วาดรูปสิครับ แล้วดูวงของมัน หรือแทนค่าก็ได้

[t.B.]

วาดรูปได้สมการวงกลมจุดศูนย์กลาง (3,4) r=1 และ k=b/a=slop หรอครับ?? ไม่รู้จริงๆอะ

[nooonuii]

$(a-3)^2+(b-4)^2\leq 1$

$|a-3|\leq 1,|b-4|\leq 1$

$2\leq a\leq 4,3\leq b\leq 5$

$\dfrac{3}{4}\leq\dfrac{b}{a}\leq\dfrac{5}{2}$

ค่าขอบเขตนี้เป็นขอบเขตคร่าวๆครับ

[Sly]

ลองไปดูวิธีแก้สมการของ ม.4 เทอม1 บทที่2 นะครับ แล้ววาดรูปครับ จะเห็นชัด ข้อนี้มีที่น่าสนใจเยอะ จึงอยากให้ทำเอง

[SOS_math]

ได้กลับมาเล่นบ้างแล้ว ช่วงก่อนหน้านี้ งานเยอะมาก ๆ เลย ขอตอบเฉพาะคำตอบนะครับ คิดคร่าว ๆ ได้
$$\frac54\le k\le\frac32$$
ผมคิดค่อนข้างซับซ้อนนะครับ อยากทราบเหมือนกันว่าคุณ Sly คิดยังไง และค่าดังกล่าวเป็น best possible ด้วยนะครับ (ถ้าคิดไม่ผิด) และมีจำนวนเชิงซ้อนเดียวคู่เดียวเท่านั้นที่ทำให้ได้ $\frac54$ และ $\frac32$ ตามลำดับ

[t.B.]

ลองทำเล่นๆดูพี่ๆช่วยดูหน่อยว่าถูกหรือเปล่า วิธีคือ แบ่ง1ออกเป็น7ส่วน(มาจาก3+4ได้7ส่วน) แล้ว เอาค่าที่ได้คูณ3 และคูณ4 แล้วมาบวกกัน แล้วใช้เทียบอสมการแต่ละตัวเอาอะ

$(a-3)^2+(b-4)^2\leq$1

$(a-3)^2+(b-4)^2\leq$0.42857142857142857142857142857143..+0.57142857142857142857142857142857..

$|a-3|\leq$0.42857142857142857142857142857143..
จะได้ 2.571428571428571428571428571429..$\leq a\leq$3.42857142857142857142857142857143..

$|b-4|\leq$0.57142857142857142857142857142857..
จะได้ 3.428571428571428571428571428572..$\leq b\leq$4.57142857142857142857142857142857..

$\therefore$ 1.33333333....$\leq\frac{b}{a}\leq$1.3333333...

จะได้ $k$ ที่เป็นไปได้ค่าเดียวคือ $k=1.3333333333......$

[SOS_math]

คิดว่าน้อง t.B. ยังทำไม่ถูกต้องนะครับ ลองหาที่ผิดดูนะ

[Sly]

นี่คือภาพนะครับ ส่วนที่แรเงาคือส่วนที่ใช้ได้ จาก z=x+yi=a+bi เพราะฉนั้นที่ตอนแรก TB แทนค่าจึงใช้ไม่ได้เพราะไม่ได้อยู่ในช่วง ส่วนที่คุณ SOS_math บอกมานั้นผิดครับ ลองแทน (a,b)=(4,4) สิครับ แล้วทำไม K ของผมมันได้1ล่ะครับส่วนผมคิดยังไงนั้นก็ใช้วิธีธรรมดานี่แหละครับ ผมไม่เก่งอ่ะครับเลยคิดวิธีซับซ้อนไม่เป็น แค่ทำอะไรที่ทำได้เท่านั้นเอง และเนื่องจากค่าของ K จะต้องสัมพันธ์กับส่วนที่แรเงาด้วย เพราะฉนั้นหาต่อไปครับ ดูจากรูปก็น่าจะได้นะครับ
ข้อนี้อยากให้น้อง TBคิดเองต่อนะครับ อย่าใช้เครื่องมือช่วย ได้อะไรหลายอย่างครับ

[t.B.]

k=b/a ลองแทน b=4,a=2 k=2 และอสมการเป็นจริง และเกิดขึ้นได้จริงดังรูป ก็ไม่เห็นเท่าที่คุณ Sly บอกมาเลยอะครับ

[Miracle Manza]

พี่ๆคับ ช่วยบอกนิยามของ พวกเรขาคนิดต่างๆได้ไหมคับ พอดีผมจะสอบเเล้วอะคับเช่น เส้นตรงไรพวกนี้อะคับพี่ ของคุนนะคับ

[SOS_math]

ขอบคุณ คุณ sly ครับ ผมคิดเลขผิดจริง ๆ ครับ ขอแก้คำตอบใหม่นะครับเป็น
$$\frac{6-\sqrt{6}}{4}\le k\le\frac{6+\sqrt{6}}{4}$$
โดยคำนวณหาความชันเส้นตรงทั้งหมดที่ตัดกับวงกลมที่ sly วาดมานะครับ