โจทย์หาเศษ

[artty60]

จงหาเศษที่เกิดจาก $\frac{(19\times 4)^{2554}-7}{100}$

[Mathematicism]

69 หรือปล่่าวครับ
$76^1=76$
$76^2=5776$
$76^3=438976$
$76^n=.......76$
$76^{2554}-7=.......69$

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

จงหาเศษที่เกิดจาก $\frac{(19\times 4)^{2554}-7}{100}$

เนื่องจาก $76 \equiv 1 ~mod ~25$

ดังนั้น $76^{2553} \equiv 1^{2553} ~mod ~25$

นั่นคือ $76^{2553} \equiv 1 ~mod ~25$

ดังนั้น $76^{2553} \cdot 4 \equiv 1\cdot 4 ~mod (4\cdot 25)$

(ทฤษฎีบท : $ac \equiv bc ~mod ~m \iff a \equiv b ~mod \frac{m}{(m, c)}$)

นั่นคือ
$76^{2553} \cdot 4 \equiv 4 ~mod ~100$

$76^{2553} \cdot 4 \cdot 19 \equiv 4\cdot 19~ mod ~100$

$ 76^{2554} \equiv 76 ~mod ~100$

ดั$76^{2554} - 7 \equiv (76 - 7) ~mod ~100$

$76^{2554} - 7 \equiv 69 ~mod ~100$

[artty60]

โจทย์ข้อนี้ทำให้พบว่า

$76^n$ เมื่อ $n\in N$ แล้ว จะได้จำนวนที่มี 2หลักท้ายเป็น 76 เสมอ

[gon]

จำนวนที่ต่างกับ 25 อยู่ 1 และหารด้วย 4 ลงตัว ก็จะมีสมบัติคล้าย ๆ กันครับ อย่างเช่น $24^n$ จะลงท้ายด้วย 24 เมื่อ n เป็นจำนวนคี่บวก และลงท้ายด้วย 76 เมื่อ n เป็นจำนวนคู่บวก หรือโดยทั่วไปคือ $\overline{a24} $ เมื่อ a เป็นจำนวนนับใด ๆ

[artty60]

ถ้าเป็น$76$ ยกกำลังเลขคี่ก็ได้นะครับ

โอ้! ได้ความรู้เพิ่มอีกแล้วครับ

หมายถึงถ้า $(25n-1)^{2n}$ จะลงท้ายด้วย$76$

แต่ถ้า$(25n-1)^{2n-1}$ จะลงท้ายด้วย$24$ เมื่อ $n$เป็นจำนวนนับ

แต่ถ้าเป็น$(25n+1)^{n+1}$ แล้วลงท้ายด้วย$76$ทุกจำนวนเมื่อ$n\in N$ เลยครับ

(แต่ทั้งนี้จะเป็นจริงได้ จำนวนเท่าของ$25$หรือ$25n$นั้น $\, n$จะต้องเป็นเลขคี่เท่านั้นครับ)

คุยกับท่าน gon ผมได้ความรู้เพิ่มทุกครั้ง ขอบคุณมากครับ