สมการ

[maxsupanut]

จงหาค่าของ $2x+y^2$ จากสมการ $x+y=23$ เเละ $\sqrt{x^2 +12y} + \sqrt{y^2 +12x} =33$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ maxsupanut

จงหาค่าของ $2x+y^2$ จากสมการ $x+y=23$ เเละ $\sqrt{x^2 +12y} + \sqrt{y^2 +12x} =33$

$x = 23-y$


$\sqrt{x^2 +12y} + \sqrt{y^2 +12x} =33$

$= \sqrt{(23-y)^2 +12y} + \sqrt{y^2 +12(23-y)} =33$

$= \sqrt{y^2 - 34y+ 529} + \sqrt{y^2-12y+276} =33$

$ = y^2 - 34y+ 529 + y^2-12y+276 + 2\sqrt{(y^2 - 34y+ 529)(y^2-12y+276)} = 1089 $

$2y^2 - 46y - 284 + 2\sqrt{(y^2 - 34y+ 529)(y^2-12y+276)} =0 $

$y^2 - 23y - 142 = -\sqrt{(y^2 - 34y+ 529)(y^2-12y+276)} $

$ (y^2 - 23y - 142 )(y^2 - 23y - 142 ) = (y^2 - 34y+ 529)(y^2-12y+276)$

กระจายแล้วได้ $y = 10, 13$

$y^4-46y^3+245y^2+6532+20164 = y^4-46y^3+1213y^2-15732y+146004$

$968y^2-22264y+125840 = 0$

$y^2-23y+130 = 0$

$(y-10)(y-13)=0$



$x = 13, 10$

ตรวจสอบแล้ว ใช้ได้ทั้งสองค่า


$2x+y^2 = 126, 189$

[Mathematicism]

จาก $x+y = 23$
จะได้ $x^2 + y^2 = 529-2xy$
และ $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = 23(529-3xy)$

จาก $\sqrt{x^2+12y} +\sqrt{y^2+12x} = 33$
ยกกำลัง 2 ทั้งสองข้าง
$x^2+12y+2\sqrt{(x^2+12y)(y^2+12x)} + y^2+12x = 1089$
$x^2 + y^2 +12(x+y) + 2\sqrt{(xy)^2+144xy+12(x^3+y^3)} =1089$
$529-2xy+12(23)+2\sqrt{(xy)^2 +144xy+12(23)(529-3xy)} =1089$
$-2xy+2\sqrt{(xy)^2 -684xy+146004} =284$
$\sqrt{(xy)^2 -684xy+146004} = xy+142$
$(xy)^2 -684xy+146004 = (xy)^2 + 284xy + 20164$
$968xy = 125840$
$xy=130$..........(1)
$x+y = 23$........(2)
จะได้ $(x,y)=(10,13)$ หรือ $(13,10)$

พยายามหาวิธีที่ไม่เหนื่อย สุดท้ายก็เหนื่อยอยู่ดี

[nooonuii]

$\sqrt{x^2 +12y} + \sqrt{y^2 +12x} =33$

$\sqrt{x^2 +12y} - \sqrt{y^2 +12x} =\dfrac{(x-y)(x+y-12)}{33}=\dfrac{x-y}{3}$

$2\sqrt{x^2+12y}=\dfrac{99+x-y}{3}=\dfrac{2(x+38)}{3}$

$9(x^2+12(23-x))=(x+38)^2$

$8(x-10)(x-13)=0$

[artty60]

ยอดเยี่ยมเลยครับคุณnooonuii

[Mathematicism]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$\sqrt{x^2 +12y} + \sqrt{y^2 +12x} =33$

$\sqrt{x^2 +12y} - \sqrt{y^2 +12x} =\dfrac{(x-y)(x+y-12)}{33}=\dfrac{x-y}{3}$

$2\sqrt{x^2+12y}=\dfrac{99+x-y}{3}=\dfrac{2(x+38)}{3}$

$9(x^2+12(23-x))=(x+38)^2$

$8(x-10)(x-13)=0$

แม้จะทราบดีว่าคุณ nooonuii ระดับเทพแล้ว
แต่ก็ยังตะลึงตึงตึง!!!อยู่ดี
โอ้ววว แม่เจ้า!!!

เห็นแล้วน้ำตาจะไหล ซาบซึ้งในความงดงามของคณิตศาสตร์
ชอบจังครับ ชอบดูวิธีทำสวยๆ