คำถามเล็ก ๆ น้อย ๆ หาค่้าผลบวกของ arctan

[~ArT_Ty~]

ให้ $a,b,c\in \mathbb{R} ^{+}$ ที่สอดคล้องกับ

$$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=1 $$

แล้ว $\arctan a +\arctan b +\arctan c$ เท่ากับเท่าใด

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ให้ $a,b,c\in \mathbb{R} ^{+}$ ที่สอดคล้องกับ

$$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=1 $$

แล้ว $\arctan a +\arctan b +\arctan c$ เท่ากับเท่าใด

ใช้วิชามารได้ $(a,b,c) = (2,1,3)$ ทุกการเรียงสับเปลี่ยน

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ให้ $a,b,c\in \mathbb{R} ^{+}$ ที่สอดคล้องกับ

$$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=1 $$

แล้ว $\arctan a +\arctan b +\arctan c$ เท่ากับเท่าใด

$a+b+c=abc$
ให้ $\arctan a=X,\arctan b=Y,\arctan c=Z$
จะได้ $a=tanX,b=tanY,c=tanZ$
แล้วจะได้ $tanX+tanY+tanZ=tanXtanYtanZ----(1)$
ให้ $X+Y+Z=k$
$tan(X+Y)=tan(k-Z)$
แล้วจัดรูปจะได้ $tanX+tanY+tan(Z-k)=tanXtanYtan(Z-k)----(2)$
$(1)-(2)$
$0=(tanXtanY-1)(tan(Z)-tan(Z-k))$
ถ้า $tanXtanY=1$ จะได้ $tanX+tanY=0$ นั่นคือ $tan^2X=-1$ เป็นไปไม่ได้
ดังนั้น $tanZ=tan(Z-k)$ จะได้ $k=n\pi$
เนื่องจาก $a,b,c \in \mathbb{R} ^{+}$ จะได้ว่า $X,Y,Z \in (0,\frac{\pi}{2})$
ดังนั้น $\arctan a +\arctan b +\arctan c=X+Y+Z=k=\pi$

วิธีทำผมมันดูแปลกๆยังไงไม่รู้ รบกวนช่วยเช็คด้วยนะครับ

[~ArT_Ty~]

ผมว่ามันยังไม่ครบทุกกรณีอ่ะครับ

[LightLucifer]

ขาดกรณีไหนอ่ะครับ

[~ArT_Ty~]

ถ้ามันเป็นมุมใน Q3 อ่ะครับ

[-MIT-]

นิยามด้วยหรือครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ถ้ามันเป็นมุมใน Q3 อ่ะครับ

$arctan x\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ นิครับ ตามนิยามฟังก์ชันอะ