โจทย์พหุนาม....มีวิธีอื่นในการแก้โจทย์นี้ไหมครับ(ของ่ายๆ)

[กิตติ]

ช่วงนี้ได้หนังสือติวเข้าเตรียมจากพี่ๆในที่ทำงาน โจทย์ข้อนี้ถามง่ายมากแต่ผมคิดวิธีสั้นๆไม่ออก
ลองใช้ตัวค้นหาในเวปแล้วมันหาไม่เจอโพสที่มีคนเคยโพสไว้ครับ

ถ้า $x^2+x-1$ เป็นตัวประกอบของ $ax^{17}+bx^{16}+1$ แล้วจงหาค่าของ $a$

ผมทำแบบนี้ครับ
ให้ $x_1,x_2$ เป็นรากของสมการ $x^2+x-1=0$ จะได้ว่า $x_1+x_2=-1,x_1x_2=-1$

$ax^{17}+bx^{16}+1=P(x)(x^2+x-1)$
แทน $x_1,x_2$ ลงใน $ax^{17}+bx^{16}+1$

$ax_1^{17}+bx_1^{16}+1=0$........(1)
$ax_2^{17}+bx_2^{16}+1=0$........(2)

คูณ(1)ด้วย $x_2^{16}$
$ax_1^{17}x_2^{16}+bx_1^{16}x_2^{16}+x_2^{16}=0$........(3)

คูณ(2)ด้วย $x_1^{16}$
$ax_1^{16}x_2^{17}+bx_1^{16}x_2^{16}+x_1^{16}=0$........(4)

(3)-(4)
$ax_1^{16}x_2^{16}(x_1-x_2)+(x_2^{16}-x_1^{16})=0$

$a=\dfrac{x_1^{16}-x_2^{16}}{x_1-x_2} $

$a=(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2)(x_1^4+x_2^4)(x_1^8+x_2^8)$

$x_1^2+x_2^2=1-2x_1x_2=3$
$x_1^4+x_2^4=9-2(x_1x_2)^2=7$
$x_1^8+x_2^8=49-2(x_1x_2)^4=47$

$a=(-1)(3)(7)(47)=-987$

[nooonuii]

มีคนเฉลยข้อนี้ไว้หลายรอบแล้วครับ

วิธีของคุณหมอก็น่าจะเป็นวิธีที่สั้นที่สุดวิธีหนึ่ง

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ไม่รู้ว่าของผมสั้นไหมครับ คุณหมอกิตติ
ให้ $x^2+x-1=0$ ตามทฤษฎีเศษเหลือ
จะได้
$x^2=1-x$
$x^4=(1-x)^2=1-2x+x^2=1-2x+1-x=2-3x$
$x^8=(2-3x)^2=4-12x+9x^2=4-12x+9-9x=13-21x$
$x^{16}=(13-21x)^2=169-546x+441x^2=169-546x+441-441x=610-987x$
$x^{17}=610x-987x^2=610x-987+987x=1597x-987$
แทนในตัวตั้งคือ $ax^{17}+bx^{16}+1=0$
ดังนั้น $-987a+610b+1=0...(1)$,$1597a-987b=0...(2)$
ได้ $a=-987$

[กิตติ]

ขอบคุณทุกความเห็นครับ ของคุณกระบี่เดียวดายแสวงพ่ายก็สั้นดี พอดีเพิ่งไปเจอว่ามีข้อสอบคล้ายกันใน 1988AIMEข้อ13
1988AIMEข้อ13

ถ้า $x^2-x-1$ เป็นตัวประกอบของ $ax^{17}+bx^{16}+1$ จงหาค่าของ $a,b$

[artty60]

จากlink ที่ให้1988AIMEข้อ13 มีจุดผิดพลาด
และผมคิดว่าค่าa,bน่าจะเป็นได้หลายค่า ผู้เชี่ยวชาญ algebra ช่วยตรวจสอบให้หน่อยครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ถ้าอย่างนั้นลองง่ายๆก่อนเลยครับ
พหุนาม $x^2-x-1$เป็นตัวประกอบของพหุนาม $ax^3+bx^2+1$มีกี่คำตอบครับ

[Sehmipntny]

[quote=กิตติ;142251]ช่วงนี้ได้หนังสือติวเข้าเตรียมจากพี่ๆในที่ทำงาน โจทย์ข้อนี้ถามง่ายมากแต่ผมคิดวิธีสั้นๆไม่ออก
ลองใช้ตัวค้นหาในเวปแล้วมันหาไม่เจอโพสที่มีคนเคยโพสไว้ครับ

ถ้า $x^2+x-1$ เป็นตัวประกอบของ $ax^{17}+bx^{16}+1$ แล้วจงหาค่าของ $a$

ผมทำแบบนี้ครับ
ให้ $x_1,x_2$ เป็นรากของสมการ $x^2+x-1=0$ จะได้ว่า $x_1+x_2=-1,x_1x_2=-1$

$ax^{17}+bx^{16}+1=P(x)(x^2+x-1)$
แทน $x_1,x_2$ ลงใน $ax^{17}+bx^{16}+1$

$ax_1^{17}+bx_1^{16}+1=0$........(1)
$ax_2^{17}+bx_2^{16}+1=0$........(2)

คูณ(1)ด้วย $x_2^{16}$
$ax_1^{17}x_2^{16}+bx_1^{16}x_2^{16}+x_2^{16}=0$........(3)

คูณ(2)ด้วย $x_1^{16}$
$ax_1^{16}x_2^{17}+bx_1^{16}x_2^{16}+x_1^{16}=0$........(4)

(3)-(4)
$ax_1^{16}x_2^{16}(x_1-x_2)+(x_2^{16}-x_1^{16})=0$

$a=\dfrac{x_1^{16}-x_2^{16}}{x_1-x_2} $ <<<<< มาไงอ่ะครับ แล้ว $x_1^{16}x_2^{16}$ หายไปไหนอ่ะ

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Sehmipntny

ช่วงนี้ได้หนังสือติวเข้าเตรียมจากพี่ๆในที่ทำงาน โจทย์ข้อนี้ถามง่ายมากแต่ผมคิดวิธีสั้นๆไม่ออก
ลองใช้ตัวค้นหาในเวปแล้วมันหาไม่เจอโพสที่มีคนเคยโพสไว้ครับ

ถ้า $x^2+x-1$ เป็นตัวประกอบของ $ax^{17}+bx^{16}+1$ แล้วจงหาค่าของ $a$

ผมทำแบบนี้ครับ
ให้ $x_1,x_2$ เป็นรากของสมการ $x^2+x-1=0$ จะได้ว่า $x_1+x_2=-1,x_1x_2=-1$

$ax^{17}+bx^{16}+1=P(x)(x^2+x-1)$
แทน $x_1,x_2$ ลงใน $ax^{17}+bx^{16}+1$

$ax_1^{17}+bx_1^{16}+1=0$........(1)
$ax_2^{17}+bx_2^{16}+1=0$........(2)

คูณ(1)ด้วย $x_2^{16}$
$ax_1^{17}x_2^{16}+bx_1^{16}x_2^{16}+x_2^{16}=0$........(3)

คูณ(2)ด้วย $x_1^{16}$
$ax_1^{16}x_2^{17}+bx_1^{16}x_2^{16}+x_1^{16}=0$........(4)

(3)-(4)
$ax_1^{16}x_2^{16}(x_1-x_2)+(x_2^{16}-x_1^{16})=0$

$a=\dfrac{x_1^{16}-x_2^{16}}{x_1-x_2} $ <<<<< มาไงอ่ะครับ แล้ว $x_1^{16}x_2^{16}$ หายไปไหนอ่ะ

$x_1x_2 = -1 \therefore x_1^{16}x_2^{16}=1$

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

ไม่รู้ว่าของผมสั้นไหมครับ คุณหมอกิตติ
ให้ $x^2+x-1=0$ ตามทฤษฎีเศษเหลือ
จะได้
$x^2=1-x$
$x^4=(1-x)^2=1-2x+x^2=1-2x+1-x=2-3x$
$x^8=(2-3x)^2=4-12x+9x^2=4-12x+9-9x=13-21x$
$x^{16}=(13-21x)^2=169-546x+441x^2=169-546x+441-441x=610-987x$
$x^{17}=610x-987x^2=610x-987+987x=1597x-987$
แทนในตัวตั้งคือ $ax^{17}+bx^{16}+1=0$
ดังนั้น $-987a+610b+1=0...(1)$,$1597a-987b=0...(2)$
ได้ $a=-987$

ช่วยให้ความรู้หน่อยครับว่ามาเป็นบรรทัดแดงได้ยังไง

[cardinopolynomial]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ช่วยให้ความรู้หน่อยครับว่ามาเป็นบรรทัดแดงได้ยังไง

ผมว่าน่าจะมาจาก การเเทนค่า $x^{17} , x^{16} $ ลงใน $ax^{17}+bx^{16}+1=0$

จะได้ $1597ax-987a+610b-987bx+1=0$

$(1597a-987b)x+(-987a+610b+1)=0$

$0+0=0$

[artty60]

ขอบคุณครับ