โจทย์แก้เบื่อ ค่าต่ำสุด/สูงสุด

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ NAKHON

ข้อ 7 มองไม่ออกเลยครับ ว่าจะเริ่มอย่างไร ลองกระจายแล้วจัดกลุ่ม ก็ไม่ได้ จับเท่ากับ 0 ก็ไม่ได้ 27 ช่วยแนะให้ด้วยครับ ชอบข้อนี้มาก

ลองกระจายแล้วจัดรูปให้เป็นพหุนามกำลังสองในตัวแปร $x$ หรือ $y$ ก็ได้อย่างใดอย่างหนึ่ง

จากนั้นก็เขียนพหุนามที่ได้ให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์

สูตรทั่วไปเป็นแบบนี้ครับ

$(x+y+a)^2+(x+b)^2+(y+c)^2\geq \dfrac{1}{3}(a-b-c)^2$ ทุกจำนวนจริง $x,y$

เมื่อ $a,b,c$ เป็นค่าคงตัว

[GoRdoN_BanksJunior]

พิสูจน์ให้หน่อยได้ไหมครับ

[nooonuii]

ขอแบบย่อๆนะครับ ลองเขียนตามก็จะเข้าใจ

$(x+y+3)^2+(x+5)^2+(y+7)^2=2x^2+2(y+8)x+2y^2+20y+83$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=2\Big(x^2+(y+8)x+(\frac{y+8}{2})^2-(\frac{y+8}{2})^2\Big)+2y^2+20y+83$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=2\Big((x+\frac{y+8}{2})^2-(\frac{y+8}{2})^2\Big)+2y^2+20y+83$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{1}{2}(2x+y+8)^2+\dfrac{3}{2}(y^2+8y)+51$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{1}{2}(2x+y+8)^2+\dfrac{3}{2}(y^2+8y+16-16)+51$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{1}{2}(2x+y+8)^2+\dfrac{3}{2}(y+4)^2+27$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\geq 27$

จะเห็นว่าสมการเป็นจริงเมื่อ $x=-2,y=-4$

ดังนั้นถ้าเราเปลี่ยนคำถามให้หาคำตอบของสมการ

$(x+y+3)^2+(x+5)^2+(y+7)^2=27$

ก็สามารถใช้วิธีการเดียวกัน

สำหรับคนที่รู้จักอสมการโคชีข้อนี้สองบรรทัดจบครับ

[Jew]

ทำแบบโคชีให้ดูหน่อยได้ไหมครับ

[nooonuii]

เริ่มไว้ให้แบบนี้ละกันครับ

$|1\cdot (x+y+3)+(-1)\cdot (x+5)+(-1)\cdot (y+7)|\leq ...$

[nooonuii]

เติมโจทย์ให้ครับ

8. จงหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของ

$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{1-x}$ เมื่อ $0\leq x\leq 1$

[\+\SUKEZผู้ยิ่งใหญ่/+/]

ค่าสูงสุดเท่ากับ $\frac{2}{\sqrt[3]{2} }$ค่าต่ำสุดเท่ากับ1หรือเปล่าครับ

[mamypoko]

จาก $0\leqslant x\leqslant 1$
ได้ $0\leqslant \sqrt[3]{x} \leqslant 1$
และ $0\geqslant -x\geqslant 1$
$1\geqslant 1-x\geqslant 0$
$1\geqslant \sqrt[3]{1-x} \geqslant 0$
ได้ $2\geqslant \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{1-x} \geqslant 0 $
สูงสุด 2 ต่ำสุด 0

[\+\SUKEZผู้ยิ่งใหญ่/+/]

ครับ..ผมผิดเองขอโทษฮะ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ \+\SUKEZผู้ยิ่งใหญ่/+/

ค่าสูงสุดเท่ากับ $\frac{2}{\sqrt[3]{2} }$ค่าต่ำสุดเท่ากับ1หรือเปล่าครับ

ถูกครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mamypoko

จาก $0\leqslant x\leqslant 1$
ได้ $0\leqslant \sqrt[3]{x} \leqslant 1$
และ $0\geqslant -x\geqslant 1$
$1\geqslant 1-x\geqslant 0$
$1\geqslant \sqrt[3]{1-x} \geqslant 0$
ได้ $2\geqslant \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{1-x} \geqslant 0 $
สูงสุด 2 ต่ำสุด 0

อสมการถูกครับ แต่ค่าสูงสุดและต่ำสุดเกิดขึ้นไม่ได้ที่ $2$ และ $0$

[[SIL]]

ผมตั้งข้อสังเกตมานานแล้วว่าถ้ามี 2 นิพจน์ใดๆบวกกัน
ค่าสูงสุดจะเมื่อ นิพจน์ทั้งสองเท่ากัน
ค่าต่ำสุดจะเกิดเมื่อตัวนึงเป็นศูนย์

ถูกหรือผิดครับ ??

[mamypoko]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

อสมการถูกครับ แต่ค่าสูงสุดและต่ำสุดเกิดขึ้นไม่ได้ที่ $2$ และ $0$

ขอบคุณครับ ผมก็ว่าลองแทนxเท่าไหร่ก็ไม่ได้คำตอบตามอสมการเลยรบกวนช่วยแสดงวิธีทำคร่าวๆหน่อยก็ได้ครับ

[nooonuii]

ให้ $a=\sqrt[3]{x},b=\sqrt[3]{1-x}$

กระจาย

$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$

จะเห็นค่าต่ำสุด

จากส่วนที่กระจายออกมา

ใช้อสมการ $(a-b)^2\geq 0$ จัดรูปให้เป็น $ab\leq \dfrac{1}{4}(a+b)^2$

แทนกลับเข้าไปจะสามารถจัดรูปเพื่อหาค่าสูงสุดได้

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

ผมตั้งข้อสังเกตมานานแล้วว่าถ้ามี 2 นิพจน์ใดๆบวกกัน
ค่าสูงสุดจะเมื่อ นิพจน์ทั้งสองเท่ากัน
ค่าต่ำสุดจะเกิดเมื่อตัวนึงเป็นศูนย์

ถูกหรือผิดครับ ??

มันขึ้นอยู่กับช่วงและตัวฟังก์ชันด้วยครับ

อย่างเช่น ถ้าพิจารณาฟังก์ชัน

$x+\sqrt{x^2+1},0\leq x\leq 1$

ก็ไม่สามารถใช้ข้อสังเกตนี้ได้

เพราะว่าทั้ง $x$ และ $\sqrt{x^2+1}$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มทั้งคู่

ลองเอาไปคิดต่อดูครับว่าถ้ามีตัวนึงเป็นฟังก์ชันเพิ่ม แต่อีกตัวเ้ป็นฟังก์ชันลด ข้อสังเกตนี้จะจริงไหม