|
|
|||||||
| สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
  |
|
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
#1
14 กันยายน 2009, 22:10
|
||||
|
||||
Mathcenter Contest Round 2/2009 Longlist
ประถม คusักคณิm จงหาค่าของ $$\frac{1}{3}+\frac{1}{3+6}+\frac{1}{3+6+9}+\frac{1}{3+6+9+12} +\cdots +\frac{1}{3+6+9+12+15+...300}$$ ---------------------------------- Heir of Ramanujan ในสลากชุดหนึ่ง สลากแต่ละใบมีหมายเลขกำกับไว้ โดยเป็นหมายเลขที่มีเลขโดด 9 หลัก และใช้เลขโดดเฉพาะ 1 หรือ 2 หรือ 3 เท่านั้น สลากแต่ละใบจะมีสีกำกับเป็นสีแดง หรือน้ำเงิน หรือเขียว สลาก 2 ใบมีหมายเลขกำกับที่แตกต่างกันทุกหลักทั้ง 9 หลัก จะมีสีต่างกัน (เช่น 121212121 และ 232323232 มีสีต่างกัน) ถ้าสลากหมายเลข 122222222 มีสีแดง และสลากหมายเลข 222222222 มีสีเขียว แล้วสลากหมายเลข 123123123 มีสีอะไร ---------------------------------- Heir of Ramanujan นายอนันต์เดินทางกลับจากที่ทำงานโดยรถไฟฟ้าเวลาเดิมทุกวันเป็นปกติ รถไฟฟ้าขบวนนี้จะจอดที่สถานีตากสิน (ซึ่งเป็นสถานีปลายทางที่ใกล้กับบ้านของนายอนันต์) ในเวลา $17:00$ น. ในเวลาเดียวกันนี้ คนขับรถของนายอนันต์จะขับรถมาถึงสถานีตากสินพอดี เพื่อมารับนายอนันต์ขึ้นรถและขับกลับบ้าน ในวันที่อากาศดีวันหนึ่ง นายอนันต์เลิกงานเร็วกว่าปกติ เขาขึ้นรถไฟฟ้าและมาถึงสถานีตากสินเวลา $16:00$ น. แทนที่จะโทรหาหรือรอคนขับรถจนถึงเวลา $17:00$ น. เขาเริ่มออกเดินกลับบ้าน (โดยใช้เส้นทางเดียวกับคนขับรถ) ระหว่างทาง เขาเดินไปเจอกับคนขับรถ ซึ่งจอดรถรับเขาในทันทีและขับกลับบ้าน เขากลับถึงบ้านเร็วกว่าเวลาปกติ $20$ นาที อีกไม่กี่สัปดาห์ต่อมา ในวันที่อากาศดีอีกวันหนึ่ง นายอนันต์เลิกงานเร็วกว่าปกติ เขาขึ้นรถไฟฟ้าและมาถึงสถานีตากสินเวลา $16:30$ น. เป็นอีกครั้งที่เขาไม่รอคนขับรถ เขาเริ่มออกเดินกลับบ้าน ระหว่างทาง เขาเดินไปเจอกับคนขับรถ ซึ่งจอดรถรับเขาในทันทีและขับกลับบ้าน ในครั้งนี้เขาจะกลับถึงบ้านเร็วกว่าเวลาปกติเป็นเวลากี่นาที สมมติให้นายอนันต์เดินด้วยอัตราเร็วคงที่ และคนขับรถใช้อัตราเร็วคงที่ในการขับรถ ==================== ม.ต้น nooonuii 1. กำหนดให้ $a,b,c>1$ และ $~~~~~a^x=bc$ $~~~~~b^y=ca$ $~~~~~c^z=ab$ จงหาค่าของ $x+y+z-xyz$ ---------------------------------- nooonuii 2. โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียน $2552$ คน นักเรียนแต่ละคนจะมีรหัสประจำตัวซึ่งเป็นเลข $5$ หลัก และมีค่าตั้งแต่ $20009$ ถึง $22560$ ทางโรงเรียนต้องการแบ่งนักเรียนออกเป็นกลุ่มเพื่อจัดนิทรรศการ โดยนักเรียนที่มีผลรวมของเลขโดดในรหัสประจำตัวเท่ากันจะอยู่กลุ่มเดียวกัน เช่น นักเรียนที่มีรหัส $20009$ จะอยู่กลุ่มเดียวกับ นักเรียนที่มีรหัส $21116$ เป็นต้น นักเรียนหนึ่งกลุ่มจะต้องใช้ห้องเรียนหนึ่งห้องในการจัดนิทรรศการ และนักเรียนทุกคนต้องเข้าร่วม กิจกรรมในครั้งนี้ จงหาว่าโรงเรียนจะต้องใช้ห้องทั้งหมดกี่ห้อง เพื่อให้นักเรียนแต่ละกลุ่มนำไปใช้จัดนิทรรศการ ---------------------------------- nooonuii 3. ให้ $x,y$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องสมการ $$(x+y)^2+(x+3)^2+y^2=3$$ จงหาค่าของ $(x+y)^2+(y+3)^2+x^2$ ---------------------------------- lightlucifer ให้ $a_1,a_2,...,a_{99}$ เป็นรากของสมการ $x^{99}-2x^{98}+3x^{97}+...+99x-100=0$ จงหา $(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3)...(1-a_{99})$ ---------------------------------- Heir of Ramanujan กำหนดให้ $P(n)$ และ $S(n)$ แทนผลคูณและผลบวกของเลขโดดทุกหลักของจำนวนนับ $n$ ตามลำดับ เช่น $P(23) = 6$ และ $S(23) = 5$ ถ้า $N$ เป็นจำนวนนับที่เป็นเลข 2 หลัก โดยที่ $N = P(N) + S(N)$ แล้วเลขหลักหน่วยของ $N$ เท่ากับเท่าใด ---------------------------------- Heir of Ramanujan สี่เหลี่ยมผืนผ้า $ABCD$ มี $BC = 3AB$ ถ้า $P$ และ $Q$ เป็นจุดบนด้าน $BC$ ที่ทำให้ $BP = PQ = QC$ แล้วพิสูจน์ว่า $\angle DBC + \angle DPC = \angle DQC$ ---------------------------------- Scylla_Shadow ให้ $$S=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2551}+\frac{1}{2552}$$ จงหาค่าของ $$\frac{1}{2\times 3}+\frac{2}{3\times 4}+\frac{3}{4\times 5}+\cdots+\frac{2550}{2551\times 2552}$$ ในรูปของ $S$ ---------------------------------- Scylla_Shadow กำหนดให้ $a,b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มบวก แล้วคำตอบของสมการ $a+b+c=2009$ มีทั้งสิ้นกี่คำตอบ ---------------------------------- Scylla_Shadow จงคำนวณค่าของ $2009a-2552b$ เมื่อ a,b เป็นคำตอบของสมการ $$(a-b)^2+(a-\frac{5}{3})^2+(b+\frac{4}{3})^2=3\frac{1}{9}$$ ---------------------------------- Scylla_Shadow ถ้า $$\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}=2553$$ แล้วค่าของ $\dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ เป็นเท่าใด ---------------------------------- Scylla_Shadow รูปสามเหลี่ยม ABC มีอัตราส่วน มุมB:มุมA:มุมC เป็น 2:3:4 จุด D เป็นจุดบน AC ที่ทำให้สามเหลี่ยม BDC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ถ้า AB ยาว $12\sqrt[4]{3}$ หน่วยแล้ว สองเท่าของพื้นที่รูปสามเหลี่ยม ADB บวกกับพื้นที่รูปสามเหลี่ยม BCD เป็นเท่าใด ---------------------------------- Scylla_Shadow จงคำนวณค่าของ $\frac{x}{2008}$ จากสมการ $$(x-(x-(x-...(x-(x-(x-2008^2)^2)^2)^2)...)^2)^2=2008^2$$ เมื่อในนิพจน์ทางซ้ายมือมีการยกกำลังสองทั้งสิ้น 2008 ครั้ง ---------------------------------- Scylla_Shadow กำหนดให้ $N$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีสมบัติดังต่อไปนี้ 1. เลขโดดในทุกหลักของ $N$ เป็นเลขเดียวกัน 2. $N$ ถูกหารลงตัวด้วย $333...$ ( มี 3 เรียงกัน 128 ตัว ) 3. $N$ ถูกหารลงตัวด้วย $3^3$ จงหาว่าจำนวนเต็มบวก $N$ ที่น้อยที่สุดมีกี่หลัก ---------------------------------- Scylla_Shadow กำหนดให้ $w,x,y$ และ $z$ เป็นจำนวนเต็มบวกหนึ่งหลักที่แตกต่างกัน ซึ่ง $$72(wxy+wxz+wyz+xyz)=77wxyz$$ จงหาค่าของ $wxyz$ ==================== ม.ปลาย nooonuii 1. ให้ $x$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งเป็นคำตอบของสมการ $x+\dfrac{1}{x}=2\sin{\frac{\pi}{32}}$ จงหาค่าของ $x^4+\dfrac{1}{x^4}$ (ตอบในรูปที่ไม่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติ) ---------------------------------- nooonuii 2. จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมดซึ่งทำให้ $p,p+10,p+20$ เป็นจำนวนเฉพาะทั้งสามจำนวน ---------------------------------- nooonuii 3. ในการแข่งขันฟุตบอลรายการหนึ่งมีทีมเข้าร่วมการแข่งขันทั้งหมด $4$ ทีม การแข่งขันเป็นแบบพบกันหมดคู่ละ $1$ ครั้งเท่านั้น และมีเกณฑ์การให้คะแนนดังนี้ ทีมชนะได้ $3$ คะแนน ถ้าเสมอกันได้ทีมละ $1$ คะแนน ทีมแพ้ไม่ได้คะแนน ถ้าจบการแข่งขันแล้วปรากฎว่าทีมที่ได้อันดับที่ $4$ มีคะแนนรวม $4$ คะแนน จงหาคะแนนรวมที่เป็นไปได้ทั้งหมดของทีมที่ได้อันดับที่ $1$ ---------------------------------- Ne[s]zA กำหนด $\sqrt[3]{(x-319)(x-8)+6}+\sqrt{7}=\sqrt{969x+1-(x+638)(x+4)}$ โดย $x\in \mathbb{R}$ ถ้า $x^2-327x+2552=a$ โดย $a \in \mathbb{R}$ แล้วจงหาค่าของ $\sqrt{\frac{2a+4\sqrt{a+13}+23}{2}}$ ---------------------------------- Heir of Ramanujan ให้ $s$ เป็นส่วนโค้งใดๆ ของวงกลมหนึ่งหน่วย (unit circle) ซึ่ง $s$ อยู่ในจตุภาค (quadrant) ที่ $1$ ตลอดความยาว ให้ $A$ เป็นพื้นที่ของอาณาบริเวณที่อยู่ใต้ $s$ และเหนือแกน $X$ และให้ $B$ เป็นพื้นที่ของอาณาบริเวณที่อยู่ทางขวาของแกน $Y$ และทางซ้ายของ $s$ พิสูจน์ว่า ค่าของ $A+B$ ขึ้นอยู่กับความยาวส่วนโค้ง $s$ เท่านั้น และไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของ $s$ ---------------------------------- Heir of Ramanujan หาค่า $A$ ที่น้อยที่สุดซึ่งทำให้สำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปใดๆ ที่มีพื้นที่รวมกันเท่ากับ $1$ จะมีสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่ $A$ โดยที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส $2$ รูปนั้นสามารถบรรจุอยู่ในสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้ (โดยไม่มีพื้นที่ซ้อนทับกัน) สมมติให้ด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนานกับด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ---------------------------------- Heir of Ramanujan กำหนดให้ $f:\mathbb{R}-\left\{0,1\right\}\rightarrow\mathbb{R}$ โดยที่ $f(x) + f(1-\frac{1}{x}) = 1+x$ สำหรับทุก $x \in \mathbb{R}-\left\{0,1\right\}$ จงหาค่าของ (รูปทั่วไปของ) $f(x)$ ---------------------------------- Heir of Ramanujan กำหนดให้ $f(x) = x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$ หาค่าของเศษเหลือจากการหาร $f(x^{5})$ ด้วย $f(x)$ ---------------------------------- Scylla_Shadow ให้ $a=x^2-2x+27$ จงหาคำตอบของสมการ $$1800 = (\sqrt{a-10}+\sqrt{a-1}+\sqrt{a+10})(\sqrt{a+10}\sqrt{a-1}\sqrt{a+10})$$ ==================== โอลิมปิก nooonuii 1. สำหรับจำนวนนับ $n$ ใดๆ นิยาม $n!!=(n!)!$ เช่น $3!!=(3!)!=6!=720$ ให้ $a_1,a_2,...,a_n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงพิสูจน์ว่า $$\frac{(a_1+a_2+\cdots+a_n)!!}{a_1!!a_2!!\cdots a_n!!}$$ เป็นจำนวนเต็ม ---------------------------------- nooonuii 2. จงหาจำนวนนับทั้งหมดที่สามารถเขียนได้ในรูป $\dfrac{4ab}{ab^2+1}$ สำหรับบางจำนวนนับ $a,b$ ---------------------------------- nooonuii 3. ให้ $a,b,c,d>0$ โดยที่ $abcd=1$ จงพิสูจน์ว่า $$(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)\leq (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+d^2)(d^2+a^2)$$ ---------------------------------- nooonuii 4. ให้ $x,y,z>0$ จงพิสูจน์ว่า $$\frac{x^2+2}{\sqrt{z^2+xy}}+\dfrac{y^2+2}{\sqrt{x^2+yz}}+\dfrac{z^2+2}{\sqrt{y^2+zx}}\geq 6$$ สมการเป็นจริงเมื่อใด ---------------------------------- nooonuii 5. ให้ $a_1,...,a_n$ และ $b_1,...,b_n$ เป็นวิธีเรียงสับเปลี่ยนของ $\dfrac{1}{(1!)^2},\dfrac{1}{(2!)^2},...,\dfrac{1}{(n!)^2}$ จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $a_1b_1+\cdots +a_nb_n$ ---------------------------------- tatari_nightmare 6. Find all real numbers $x,y$ such that all of the numbers $$x^2-y^2,x^3-y^3,x^5-y^5$$ are rational ---------------------------------- Heir of Ramanujan หาค่าของจำนวนจริง $x,y,z$ ที่สอดคล้องกับระบบสมการ $$\begin{eqnarray}8(x+\frac{1}{x}) &=& 15(y+\frac{1}{y}) = 17(z+\frac{1}{z})\\ $xy + yz + zx &=& 1\\ \end{eqnarray}$$ ---------------------------------- Heir of Ramanujan กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $a \not= 0$ และ $a \not= b$ และรากทั้งหมดของสมการ $ax^{3}-x^{2}+bx-1 = 0$ เป็นจำนวนจริงและเป็นบวก หาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $P = \frac{5a^{2}-3ab+2}{a^{2}(b-a)}$ ==================== หมายเหตุ: ผลคะแนนรอบ 2/2009 อาจล่าช้ากว่ากำหนดเล็กน้อยนะครับ ขออภัยในความไม่สะดวกมา ณ ที่นี้
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 
|
|
#2
15 กันยายน 2009, 07:31
|
|||
|
|||
|
ที่ผมทำไว้ อาจถูกหรือผิดก็ได้
ท่านอื่นทำวิธีต่างไปจากนี้ไหมครับ มัธยมต้น อ้างอิง:
ยกกำลัง $yz$ จะได้ $~~~(a^x)^{yz}=b^{yz}c^{yz}$ $~~~a^{xyz}=(b^y)^z \cdot (c^z)^y$ $ \ \ \ \ \ \ \ \ =(ca)^z \cdot (ab)^y$ $ \ \ \ \ \ \ \ \ =(c^z) \cdot (a^z) \cdot (a^y) \cdot (b^y)$ $ \ \ \ \ \ \ \ \ =(ab) \cdot (a^z) \cdot (a^y) \cdot (ca)$ $ \ \ \ \ \ \ \ \ =a^{2+y+z}(bc)$ $ \ \ \ \ \ \ \ \ =a^{2+y+z}(a^x)$ $ \ \ \ \ \ \ \ \ =a^{2+x+y+z}$ ดังนั้น $xyz = 2+x+y+z$ $ x+y+z - xyz = - 2$
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว  ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด)
|
|
#3
15 กันยายน 2009, 07:33
|
|||
|
|||
|
ที่ผมทำไว้ อาจถูกหรือผิดก็ได้
ท่านอื่นทำวิธีต่างไปจากนี้ไหมครับ มัธยมต้น อ้างอิง:
รูปสามเหลี่ยม ABC มีอัตราส่วน มุมB:มุมA:มุมC เป็น 2:3:4 จะได้มุม B = 40 องศา, มุม A= 60 องศา, มุมC = 80องศา จากโจทย์ BDC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จะได้ มุม$CDB = 80^\circ$, มุม$DBC = 20^\circ $ (สร้าง) ลาก BE ไปพบส่วนต่อ AC ที่ E โดยให้ $CBE = 20^\circ $ จะได้ BAE เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า มีด้านยาวด้านละ $12\sqrt[4]{3} $ พื้นที่สามเหลี่ยม $BAE = \frac{\sqrt{3} }{4} (12\sqrt[4]{3})^2 = 108$ ตารางหน่วย ......(1) สามเหลี่ยม BAD เท่ากันทุกประการกับสามเหลี่ยม BCE (ดมด) สามเหลี่ยม BAD + สามเหลี่ยม BDC + สามเหลี่ยม BCE = สองเท่าสามเหลี่ยม BAD + สามเหลี่ยม BDC = สามเหลี่ยม BAE = 108 ตารางหน่วย
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด)
|
|
#4
15 กันยายน 2009, 07:35
|
|||
|
|||
|
ที่ผมทำไว้ อาจถูกหรือผิดก็ได้
ท่านอื่นทำวิธีต่างไปจากนี้ไหมครับ มัธยมต้น อ้างอิง:
ผลบวกเลขโดด = 3 คือ 21000 ผลบวกเลขโดด = 4 คือ 21001 ผลบวกเลขโดด = 5 คือ 21002 ผลบวกเลขโดด = 6 คือ 21003 ผลบวกเลขโดด = 7 คือ 21004 ผลบวกเลขโดด = 8 คือ 21005 ผลบวกเลขโดด = 9 คือ 21006 ผลบวกเลขโดด = 10 คือ 21007 ผลบวกเลขโดด = 11 คือ 21008 ผลบวกเลขโดด = 12 คือ 21009 ผลบวกเลขโดด = 13 คือ 21019 ผลบวกเลขโดด = 14 คือ 21029 ผลบวกเลขโดด = 15 คือ 21039 ผลบวกเลขโดด = 16 คือ 21049 ผลบวกเลขโดด = 17 คือ 21059 ผลบวกเลขโดด = 18 คือ 21069 ผลบวกเลขโดด = 19 คือ 21079 ผลบวกเลขโดด = 20 คือ 21089 ผลบวกเลขโดด = 21 คือ 21099 ผลบวกเลขโดด = 22 คือ 21199 ผลบวกเลขโดด = 23 คือ 21299 ผลบวกเลขโดด = 24 คือ 21399 ผลบวกเลขโดด = 25 คือ 21499 ผลบวกเลขโดด = 26 คือ 21599 ผลบวกเลขโดด = 27 คือ 21699 ผลบวกเลขโดด = 28 คือ 21799 ผลบวกเลขโดด = 29 คือ 21899 ผลบวกเลขโดด = 30 คือ 21999 ผลบวกเลขโดดที่น้อยที่สุด = 3 และมากที่สุดคือ 30 ดังนั้นกลุ่มต่างๆจึงอยู่ระหว่าง 3 กับ 30 รวม 28 กลุ่ม ตอบ โรงเรียนจะต้องใช้ห้องทั้งหมด 28 ห้อง เพื่อให้นักเรียนแต่ละกลุ่มนำไปใช้จัดนิทรรศการ
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด)
|
|
#5
15 กันยายน 2009, 07:37
|
|||
|
|||
|
ที่ผมทำไว้ อาจถูกหรือผิดก็ได้
ท่านอื่นทำวิธีต่างไปจากนี้ไหมครับ มัธยมต้น อ้างอิง:
จะได้ $P(n) = ab$ และ $S(n) = a + b $ ดังนั้น 10a + b = ab + (a + b) 9a = ab b = 9 ทดสอบ 19 = (1x9) + (1+9) $91\not= (9\times 1) + (9+1)$ 29 = (2x9) + (2+9) $92\not= (9\times 2) + (9+2)$ 39 = (3x9) + (3+9) $93\not= (9\times 3) + (9+3)$ . . . . . 89 = (8x9) + (8+9) $98\not= (9\times 8) + (9+8)$ 99 = (9x9) + (9+9) ดังนั้นหลักหน่วยของ N = 9
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด)
|
|
#6
15 กันยายน 2009, 07:38
|
|||
|
|||
|
ที่ผมทำไว้ อาจถูกหรือผิดก็ได้
ท่านอื่นทำวิธีต่างไปจากนี้ไหมครับ มัธยมต้น อ้างอิง:
จากข้อสังเกต 3m หารลงตัวด้วย 333...3 ( มี 3 เรียงกัน 128 ตัว ) ดังนั้น N ต้องมี $ \geqslant 128 $ หลัก และ N ต้อง $ \geqslant 3m $ ดังนั้นทุกๆพหุคูณ3 ของ3m จะหารด้วย 3m ลงตัวเสมอ จึงพิจารณาแค่ว่า 3x9 หาร จำนวนนั้นลงตัวหรือไม่ 9m หารด้วย 3m ลงตัว แต่หารด้วย 3x9 ไม่ลงตัว เพราะ 128 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว (1+1+1+1+...+1 รวม 128 ตัว = 128 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว) ทำนองเดียวกัน 18m ก็หารด้วย 3 ไม่ลงตัว 27m หารด้วย 3m ลงตัว และหารด้วย 27 ลงตัว 20 x m = จำนวน 129 หลัก 30 x m = จำนวน 129 หลัก ดังนั้น 27m จึงมี 129 หลัก ตอบว่า $N$ ที่น้อยที่สุดมี 129 หลัก
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด)
|
|
#7
15 กันยายน 2009, 07:40
|
|||
|
|||
|
ที่ผมทำไว้ อาจถูกหรือผิดก็ได้
ท่านอื่นทำวิธีต่างไปจากนี้ไหมครับ มัธยมต้น อ้างอิง:
สร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้า ADEF แบบสมมาตรกับสี่เหลี่ยม ABCD ที่โจทย์กำหนด ลาก PG, QH ตั้งฉากกับ EF จะได้สี่เหลี่ยมจัตุรัส 6 รูปดังภาพ ลาก DF, PF สามเหลี่ยม DBC เท่ากันทุกประการกับสามเหลี่ยม DEF (ดมด) มุมDBC = มุมDFE = x สามเหลี่ยม DPC เท่ากันทุกประการกับสามเหลี่ยม PBF (ดมด) มุมDPC = มุมBFP = y เพราะว่า มุมBFP = y = มุมFPG (มุมแย้ง) มุมFPD = y + มุมGPD = 90 องศา ดังนั้นสามเหลี่ยม FPD เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว (FP=PD = เส้นทแยงมุม) มุมPFD = 45 องศา = z = x+ y ....(z = 45องศา เส้นทแยงมุสี่เหลี่ยมจัตุรัส) $\angle DBC + \angle DPC = \angle DQC$ Q.E.D
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด)
|
|
#8
15 กันยายน 2009, 07:41
|
|||
|
|||
|
ที่ผมทำไว้ อาจถูกหรือผิดก็ได้
ท่านอื่นทำวิธีต่างไปจากนี้ไหมครับ มัธยมต้น อ้างอิง:
$=\dfrac{(a-b)(b+c)(c+a) +(b-c)(a+b)(c+a)+ (c-a)(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ $=\dfrac{(ab+ca-b^2-bc)(c+a) + (ab+b^2-ca-bc)(c+a) + (ca+bc-a^2-ab)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ $=\frac{(abc+c^2a-b^2c-bc^2+a^2b+ca^2-ab^2-abc) +(abc+b^2c-c^2a-bc^2+a^2b+ab^2-ca^2-abc) + (abc+b^2c-a^2b-ab^2+c^2a+bc^2-a^2c-abc)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ $=\dfrac{ c^2a +b^2c +bc^2 +a^2b-ca^2-ab^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ $= - \dfrac{ -c^2a -b^2c -bc^2 -a^2b+ca^2+ab^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ $= - \dfrac{abc - c^2a -b^2c +bc^2 -a^2b+ca^2+ab^2 -abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ $= - \dfrac{(ab-ca-b^2+bc)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ $= - \dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ เพราะฉะนั้น $ \dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} = -2553$
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด)
|
|
#9
15 กันยายน 2009, 07:43
|
|||
|
|||
|
ที่ผมทำไว้ อาจถูกหรือผิดก็ได้
ท่านอื่นทำวิธีต่างไปจากนี้ไหมครับ มัธยมปลาย อ้างอิง:
ให้มี 4 ทีมเข้าแข่งขัน A, B, C, และ D อันดับที่อาจเกิดขึ้นได้ดังนี้ A>B>C>D ----->(4 ทีมคะแนนต่างกัน, A คะแนนอันดับ 1, Dเป็นอันดับ4) A>(B=C)>D ----> (A อันดับ 1, BกับCคะแนนเท่ากัน เป็นอันดับ 2 ร่วมกัน, D อันดับ 4) (A=B)>C>D ----> (AและB คะแนนเท่ากัน เป็นอันดับหนึ่งร่วม, C อันดับ 3, D อันดับ 4) (A=B=C)>D ----> (อันดับหนึ่งมี 3 ทีมร่วมกัน, จึงไม่มีอันดับ 2, 3, ข้ามมาอันดับ 4 คือ D) A>(B=C=D) ----> (อันดับหนึ่งมี 1, อันดับ 4 ไม่มี อย่างนี้ต้องนับว่า B,C,D เป็นอันดับ 2 ร่วม ) (A=B) > (C=D) ----> (อันดับหนึ่งมี 2ทีมเท่ากัน,C กับ D คะแนนเท่ากัน จึงเป็นอันดับ 3 ร่วม ไม่ใช่อันดับ 4 ) ในการแข่งขันแบบพบกันหมด แบบคู่ละครั้ง ไม่มีเหย้า ไม่มีเยือน จึงมีการแข่งขันทั้งสิ้น 6 match outcome ที่ออกมา 3 แบบ(แพ้-ชนะ-เสมอ) มี 12 outcome (แพ้-ชนะ-เสมอ รวมกันเป็น 12 outcome) ถ้ามีเสมอ จะต้องมีเสมอเป็นจำนวนคู่คือ 2 หรือ 4 หรือ 6 ..... outcome และถ้ามีชนะ-แพ้ ชนะกับแพ้ต้องเท่ากัน (มีทีมชนะ ก็ต้องมีทีมแพ้) โจทย์บังคับว่าทีม D ที่ได้อันดับ 4 มี 4 คะแนน แปลว่า ทีม D ต้อง ชนะ 1 แพ้ 1 เสมอ 1 เท่านั้น ไม่มีchoice อื่น คะแนนของ D จึงเป็น 3+0+1 = 4 จึงเหลืออีก 9 outcome ใน 9 outcome ต้องมี เสมอ 1 (เสมอกับทีม D) จึงเหลือ 8 outcome ซึ่งแบ่งเป็น ชนะ 4 แพ้ 4 คะแนนที่จะเกิดขึ้นสูงสุดคือ ชนะ4+เสมอ 1 รวม (4x3) +1 = 13 คะแนน 13 คะแนน แบ่งให้อีก 3 ทีม (D ได้ไปแล้ว 4) ดังนี้ กรณี A>B>C>D 9>3>1>4 ไม่valid เพราะ D จะไม่เป็นอันดับ 4 (แข่ง 3 ครั้ง ไม่มี 8 คะแนน) 7>5>1>4 ไม่valid เพราะ D จะไม่เป็นอันดับ 4 7>4>2>4 ไม่valid เพราะ D จะไม่เป็นอันดับ 4 6>4>3>4 ไม่valid เพราะ D จะไม่เป็นอันดับ 4 6>5>2>4 ไม่valid เพราะ D จะไม่เป็นอันดับ 4 กรณี A>(B=C)>D 9>(2=2)>4 ไม่valid เพราะ D จะไม่เป็นอันดับ 4 7>(3=3)>4 ไม่valid เพราะ D จะไม่เป็นอันดับ 4 5>(4=4)>4 ไม่valid เพราะ D จะเป็นอันดับ 2ร่วม ไม่ใชาอันดับ4 กรณี (A=B)>C>D (6=6)>1>4 ไม่valid เพราะ D จะไม่เป็นอันดับ 4 (5=5)>3>4 ไม่valid เพราะ D จะไม่เป็นอันดับ 4 (4=4)>5>4 ไม่valid เพราะ D จะไม่เป็นอันดับ 4 กรณี (A=B=C)>D เป็นไปไม่ได้ เพราะ 13 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว กรณี A>(B=C=D) 5>(4=4=4) อย่างนี้ สามทีมหลังมีคะแนนเท่ากัน ก็ต้องเป็นที่ 2 ร่วม ไม่ใช่ที่4 กรณี (A=B) > (C=D) (A=B) > (4=4) เป็นไปไม่ได้เพราะ เหลือ 9 หารด้วย 2 ไม่ลงตัว จึงสรุปว่า เป็นไปไม่ได้ที่อันดับ 4 จะมีคะแนนเป็น 4 ตอบคำถาม "จงหาคะแนนรวมที่เป็นไปได้ทั้งหมดของทีมที่ได้อันดับที่ $1$" ว่า ไม่มีคะแนนที่เป็นไปได้ Q.E.D.
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด)
|
|
#10
15 กันยายน 2009, 07:45
|
|||
|
|||
|
ที่ผมทำไว้ อาจถูกหรือผิดก็ได้
ท่านอื่นทำวิธีต่างไปจากนี้ไหมครับ มัธยมปลาย อ้างอิง:
โดยหลักง่าย ของที่ใส่เข้าไป จะต้องเล็กกว่าของห่อหุ้ม ดังนั้นสี่เหลี่ยมผืนผ้าต้องมีพื้นที่เท่ากับหนึ่ง 1 หรือมากกว่า 1 จะน้อยกว่า 1 ไม่ได้ $A \geqslant 1 $ (A จึงน้อยที่สุดได้ = 1 น้อยกว่านี้ไม่ได้) ดังนั้นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปนั้นต้องมีช่องว่างน้อยที่สุดจึงจะทำให้สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่น้อยที่สุ ด พื้นที่น้อยที่สุด ก็คือสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปนั้นต้องเท่ากัน คือแต่ละรูปมีพื้นที่ $\frac{1}{2}$ ตารางหน่วย และ A มีพื้นที่ 1 ตารางหน่วย พิสูจน์โดยอสมการตามรูปข้างล่างนี้ รูป ข ให้ $y > x$ พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า $=$ สีเขียว + สีเหลือง + สีขาว $ \ \ \ \ \ \ y(y+x) = y^2 + x^2 +x(y-x)$ $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 1 +x(y-x)$ ...... ( เพราะว่าโจทย์กำหนด $ y^2 + x^2 =1$) จะเห็นได้ว่า $y(y+x)$ > 1 หรือ $y(y+x)$ = 1 เมื่อ $x(y-x) =0$ นั่นคือ $x(y-x) =0$ ---> $x=y$ สรุปว่า $y(y+x)$ มีค่าน้อยที่สุด = 1 เมื่อ $x=y$ ตามรูป ก ตอบว่า ค่า $A$ ที่น้อยที่สุด เท่ากับ 1
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด)
|
|
#11
15 กันยายน 2009, 17:28
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
ลองคิดดูใหม่นะครับ ^^
|
|
#12
16 กันยายน 2009, 21:32
|
||||
|
||||
|
ข้อ ของคุณ scylla_shadow ผมได้ 384 ครับ
ผมได้ 999...99(128ตัว) และถ้าเลขต้องเหมือนกันทุกหลัก ผมก็ได้ 999..99(128*3=384ตัว) $3^3$ จะหารลงตัว (ผมใช้ เลขโดดบวกกันหาร3ลงตัวแล้วเลขนั้นจะหารด้วย3ลงตัวครับ) แต่พิสูจน์ไม่ได้ครับ (พิสูจน์ไม่เป็น  )
__________________
My stAtUs ทำไมยิ่งเรียน แล้วยิ่งโง่หว่าา
|
|
#13
16 กันยายน 2009, 21:34
|
||||
|
||||
|
#2
ผมเอา 3 สมการคูณกันเลยครับ $a^xb^yc^z=a^2b^2c^2$ ผมก็สรุปเลยครับว่า x=2,y=2,z=2 (ไม่รู้ว่าได้รึเปล่านะครับ) ก็ได้ -2 เหมือนกัน
__________________
My stAtUs ทำไมยิ่งเรียน แล้วยิ่งโง่หว่าา
|
|
#14
16 กันยายน 2009, 22:02
|
|||
|
|||
|
รบกวนคุณ nongtum ช่วยเอาเฉลยข้อ 6 ระดับโอลิมปิกของคุณ tatari_nightmare มาลง จะได้หรือไม่ครับ?
__________________
จะคิดเลขก็ติดขัด จะคิดรักก็ติดพัน 
|
|
#15
16 กันยายน 2009, 22:27
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish.
|
| |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน
|
||||
| หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
| Mathcenter Contest Round 1/2009 Longlist | nongtum | ปัญหาเก็บตก | 24 | 25 มิถุนายน 2009 17:35 |
| Mathcenter Contest Round 3 Olympic Longlist | nongtum | ปัญหาเก็บตก | 4 | 14 กุมภาพันธ์ 2009 19:25 |
| Mathcenter Contest Round 2 Non-Olympic Longlist | nongtum | ปัญหาเก็บตก | 3 | 28 กรกฎาคม 2008 00:01 |
| Mathcenter Contest Round 1 University Longlist | nongtum | ปัญหาเก็บตก | 14 | 12 มิถุนายน 2008 23:52 |
| Mathcenter Contest Round 0 Longlist | nongtum | ปัญหาเก็บตก | 27 | 05 พฤษภาคม 2008 01:27 |
|
|
